Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Scheibendarstellungen 71
∫
f(hu) dh =
∫
f(uh) dh =
∫
f(h) dh für alle u ∈ H hat. Wir bilden damit
∫
ψ: W → T x M, z ↦→
H
h −1 · ϕ(hz) dh
mit der H-Operation (h, v) ↦→ h · v auf T x M, die durch das Differential der
Gruppenoperation auf M gegeben ist. Wegen der Invarianz des Integrals ist diese
Abbildung H-äquivariant. Nach eventueller Verkleinerung von W kann ψ als
Karte verwendet werden. Zum Beweis zeigen wir, daß das Differential im Punkt
x bijektiv ist. Unsere ursprüngliche Karte ϕ wählen wir zu diesem Zweck so, daß
T x ϕ = id(T x M) ist. Wir behaupten: Das Differential von ψ ist dann ebenfalls die
Identität. Das folgt durch Differentiation unter dem Integral“, weil z ↦→ h·ϕ(hz)
”
bei x als Differential die Identität hat.
✷
(4.2) Folgerung. Sei G kompakt. Dann ist die Fixpunktmenge M G eine glatte
Untermannigfaltigkeit.
Beweis. In einer Umgebung von x ∈ M G ist M nach dem vorigen Satz G-
diffeomorph zu einer Darstellung V . In einer Darstellung ist aber die Fixpunktmenge
ein linearer Unterraum, so daß wir eine an die Fixpunktmenge angepaßte
Karte erhalten.
✷
Sei G x = H kompakt. Der Orbit C durch x sei eine Untermannigfaltigkeit.
Dann ist T x C ein H-stabiler Unterraum von T x M. Sei V ein H-stabiles Komplement
von T x C in T x M. Ein derartiges Komplement ist als H-Darstellung bis
auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Wir nennen V die Scheibendarstellung von
M in x.
Sei ϕ: U → T x M eine H-äquivariante Karte mit Umkehrung ψ. Die Abbildung
˜τ: G × V → M,
(g, v) ↦→ gψ(v)
faktorisiert wegen der Äquivarianz von ψ über den Orbitraum G × H V . Da H
kompakt ist, so ist G × H V in kanonischer Weise eine glatte G-Mannigfaltigkeit
und die durch ˜τ induzierte Abbildung τ: G × H V → M eine glatte G-Abbildung.
Allgemein nennen wir eine G-Operation auf der Mannigfaltigkeit eigentlich,
wenn jeder Punkt x ∈ M eine Umgebung V hat, so daß {g ∈ G | gV ∩ V ≠ ∅}
relativ kompakt ist. (Wenn man M/G als hausdorffsch voraussetzt, so entspricht
das dem allgemeinen Begriff einer eigentlichen Operation.)
Wir wählen ein H-invariantes Skalarprodukt auf V und setzen
V (ε) = {v ∈ V | ‖v‖ < ε}.
(4.3) Satz. Es gibt ein ε > 0, so daß τ: G × H V (ε) → M eine Einbettung auf
eine offene Umgebung von C ist (äquivariante Tubenabbildung).
Beweis. Wir zeigen zunächst, daß τ in allen Punkten des Nullschnittes ein
bijektives Differential hat. Das folgt daraus, daß die Relationen
T (e,0)˜τ(T e G × {0}) = T x C,
T (e,0)˜τ({e} × V ) = V