Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

80 6 Bündel T. tom Dieck
Ist B = C und d: B → B ×B, b ↦→ (b, b) die Diagonale, so heißt d ∗ (ξ ×η) = ξ ⊕η
die Whitney-Summe von ξ und η. Die Faser von ξ⊕η über b ist die direkte Summe
der Fasern ξ b ⊕η b . Ist ξ gegeben, so heißt η ein Inverses von ξ, falls ξ⊕η isomorph
zu einem trivialen Bündel ist.
Sei f: M → N eine Immersion von glatten Mannigfaltigkeiten. Das Differential
T f: T M → T N läßt sich über einen fasernweise injektiven Bündelmorphismus
i: T M → f ∗ T N und die kanonische Abbildung f ∗ T N → N faktorisieren. Das
Quotientbündel, das heißt der Kokern von i, heißt Normalenbündel der Immersion.
Ist M ⊂ N speziell eine Untermannigfaltigkeit, so können wir T M als
Unterbündel der Einschränkung T N|M auffassen und das Normalenbündel als
Quotientbündel erhalten. Statt eines Quotientbündels kann man auch das orthogonale
Komplement nehmen. Die folgenden Überlegungen zeigen, daß dabei im
wesentlichen dasselbe herauskommt.
Eine Riemannsche Metrik auf einem Vektorraumbündel ξ ist eine stetige Abbildung
b: E(ξ ⊕ ξ) → R, die auf jeder Faser ein Skalarprodukt b(x) auf E(ξ) b
ist. Hat ξ eine Riemannsche Metrik und ist α: η → ξ ein fasernweise injektiver
Bündelmorphismus über B, so kann man als Kokern(α) das fasernweise gebildete
orthogonale Komplement ζ von Bild α nehmen. Man hat deshalb einen
Isomorphismus ξ ∼ = η ⊕ ζ. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine glatte
Mannigfaltigkeit zusammen mit einer glatten Riemannschen Metrik auf ihrem
Tangentialbündel.
Ein Bündel ξ: E(ξ) → B heißt numerierbar, wenn es eine offene Überdeckung
(U j | j ∈ J) von B gibt, so daß ξ über U j trivial ist, und zu (U j | j ∈ J) eine
untergeordnete Partition der Eins (τ j | j ∈ J) existiert, wenn also ξ über den
Mengen einer numerierbaren Überdeckung trivialisiert werden kann.
(2.4) Satz. Jedes numerierbare Bündel hat eine Riemannsche Metrik.
Beweis. Ein triviales Bündel hat eine Riemannsche Metrik; sei etwa b j eine auf
ξ | U j . Dann ist ∑ j τ jb j eine Riemannsche Metrik auf ξ. Die Summe steht dabei
abkürzend für das Skalarprodukt ∑ τ j (x)b j (x) auf der Faser über x, mit der üblichen
Vereinbarung Null mal Undefiniert = Null“. Man beachte, daß die Menge
”
der Skalarprodukte eine konvexe Teilmenge im Vektorraum aller Bilinearformen
ist.
✷
(2.5) Notiz. Sei ξ Unterbündel eines Bündels η mit Riemannscher Metrik.
Dann ist das fasernweise gebildete orthogonale Komplement ξ ⊥ ein Unterbündel,
und die kanonische Abbildung ξ ⊥ → η/ξ ist ein Bündelisomorphismus. ✷
3 Weiteres zu Vektorraumbündeln
(3.1) Satz. S k besitzt genau dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen, wenn k ungerade
ist.
✷
Allgemein kann man fragen, wieviele stetige Vektorfelder X 1 , . . . , X r eine Mannigfaltigkeit
hat, die an jedem Punkt linear unabhängig sind. Wir behandeln