Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 5 Transversalität 43
Beweis. Es ist T b B der Kern von T b p. Die Komposition von T a f: T a A →
T b M/T b B mit dem durch T b : T b M → T 0 R k induzierten Isomorphismus
T b M/T b B ∼ = T 0 R k ist T a (p ◦ f). Nun wenden wir die obige Bemerkung aus der
linearen Algebra an.
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(5.3) Notiz. Seien f: A → M und f|∂A glatt und transvers zur Untermannigfaltigkeit
B der Kodimension k von M. Seien B und M randlos. Dann ist
C = f −1 (B) leer oder eine Untermannigfaltigkeit vom Typ 1 von A der Kodimension
k. Es gilt T a C = (T a f) −1 (T f(a) B).
✷
Seien in der Situation der letzten Notiz ν(C, A) und ν(B, M) die Normalenbündel.
Dann induziert T f eine glatte Bündelabbildung ν(C, A) → ν(B, M);
nach Definition der Transversalität ist nämlich T a f: T a A/T a C → T f(a) /T f(a) B
surjektiv und aus Dimensionsgründen bijektiv.
Aus (5.2) folgt übrigens, daß Transversalität eine ”
offene Bedingung“ ist: Ist
f: A → M in a transvers zu B, so auch in allen Punkten einer geeigneten Umgebung
von a, denn etwas Entsprechendes gilt für reguläre Punkte.
(5.4) Notiz. Seien f: A → M und g: B → M glatt und sei y = f(a) = g(b).
Genau dann sind f und g in (a, b) transvers, wenn f × g in (a, b) transvers zur
Diagonale von M × M ist.
Beweis. Sei U = T a f(T a A), V = T b g(T b B), W = T y M. Die Behauptung besagt,
daß U + V = W und (U ⊕ V ) + D(W ) = W ⊕ W gleichwertige Relationen sind
(D(W ) Diagonale). Eine kleine Umrechnung mittels linearer Algebra liefert diese
Gleichwertigkeit.
✷
(5.5) Folgerung. Seien f und g transvers. Dann ist C eine glatte Untermannigfaltigkeit
von A × B. Sei c = (a, b) ∈ C. Wir haben ein Diagramm
T c C
T F✲
T b B
T G
❄
T a A
T f
✲
T g
❄
T y M.
Es ist bikartesisch, das heißt 〈 T f, T g 〉 ist surjektiv und der Kern ist T c C. Das
Diagramm induziert demnach einen Isomorphismus der Kokerne von T G und
T g (und ebenso von T F und T f).
✷
(5.6) Korollar. Sei ein kommutatives Diagramm von glatten Abbildungen
Z
h ✲
C
❄ G
A
F ✲
gegeben. Sei f transvers zu g und C we oben. Dann ist h genau dann transvers
zu G, wenn fh transvers zu g ist.
f
✲
B
g
❄
M