Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 6 Derivationen und Tangentialraum 17
gang und gäbe ist und durch ihren algebraischen Charakter zu allerlei Verallgemeinerungen
Anlaß gibt.
Sei E x (M) der Ring (genauer die R-Algebra) der Keime glatter Funktionen
(M, x) → R. Elemente darin werden durch glatte, in einer Umgebung von x
definierte Funktionen repräsentiert; zwei solche sind äquivalent, wenn sie auf
einer Umgebung von x übereinstimmen. Die Klasse von f wird ihr Keim im
Punkt x genannt. Addiert und multipliziert werden die Äquivalenzklassen durch
Addition und Multiplikation von Funktionswerten (nach Einschränkung auf geeignete
Umgebungen von x). Ein Keim f an der Stelle x hat einen wohldefinierten
Funktionswert f(x). Eine Derivation von E x (M) ist eine R-lineare Abbildung
D: E x (M) → R, die die Produktregel D(f ·g) = D(f)·g(x)+f(x)·D(g) erfüllt. Die
Derivationen werden zu einem Vektorraum T x (M) = Der E x (M) durch die Vorschrift
(λ 1 D 1 +λ 2 D 2 )(f) = λ 1 D 1 (f)+λ 2 D 2 (f). Eine glatte Abbildung f: M → N
induziert einen Homomorphismus von Algebren E x f: E f(x) N → E x M, ϕ ↦→ ϕ ◦ f
und eine lineare Abbildung T x f: T x (M) → T f(x) (N), D ↦→ D ◦ E x f. Das nächste
Lemma zeigt, daß die T x M als Tangentialräume dienen können.
(6.1) Lemma. Der Vektorraum T p R n ∂ ∂
hat die Basis
∂x 1
, . . . ,
∂x n
. Dabei interpretieren
wir ∑ i a i ∂
∂x i
als die Derivation f ↦→ ∑ i a i ∂f
∂x i
(p), die aus den Standardkoordinaten
x 1 , . . . , x n des R n entsteht. Falls wir T p R n bezüglich dieser Basis mit
R n identifizieren, so wird T p (ϕ) für eine glatte Abbildung ϕ zwischen offenen
Teilmengen euklidischer Räume durch die Jacobi-Matrix Dϕ(p) gegeben.
Beweis. Sei 1 die konstante Funktion mit dem Wert 1. Dann gilt nach der
Produktregel D(1) = D(1·1) = D(1)·1(p)+1(p)·D(1) = 2D(1), also D(1) = 0.
Wegen D(λ1) = λD(1) ist also D auf konstanten Funktionen Null.
Ist h: U ε (p) → R auf der ε-Umgebung von p = (p 1 , . . . , p n ) glatt, so gibt
es glatte Funktionen h i auf U ε (p), mit denen in U ε (p) die Gleichung h(x) =
h(p) + ∑ n
i=1 (x i − p i )(x) · h i (x) gilt, mit den Koordinatenfunktionen x i und den
konstanten Funktionen p i ; ferner ist h i (p) = D i h(p). Die Derivationen
∂
∂x i
sind
sicherlich linear unabhängig, was man durch Anwendung auf die Koordinatenfunktionen
erkennt. Aus
D(h) = D(h(p)) + ∑ n
i=1 D((x i − p i ) · h i )
= ∑ n
i=1 (D(x i − p i )h i (p) + (x i − p i )(p)D(h i ))
= ∑ n
i=1 D(x i − p i )D i h(p) =
( ∑n
i=1 D(x i − p i ) ∂
∂x i
)
(h)
folgt D = ∑ D(x i − p i ) ∂
∂x i
. Also erzeugen sie auch den Vektorraum. Aus der
Kettenregel folgt die Behauptung über die Jacobi-Matrix.
✷
(6.2) Kanonischer Tangentialraum. Aus Lemma (6.1) folgt, daß die Vektorräume
T x (M) zusammen mit den Isomorphismen
T x ϕ: T x (M) → T ϕ(x) (V ) = R n
für Karten (U, ϕ, V ) einen Tangentialraum bilden. Das zugehörige Differential ist
T x f. Mit diesem Modell eines Tangentialraumes haben wir für jedes X p ∈ T p (M)