Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Kohomologie von de Rham: Die höchste Dimension 109
Ist A durch ϕ gerahmt, so wird durch ϕ: T A ⊕ kε → (k + 1)ε das Bündel T A
orientiert. Wir wählen den Diffeomorphismus h so, daß die Komposition γ orientierungserhaltend
ist. Die Homotopieklasse von γ ist unabhängig vom gewählten
h. Die gegebene Rahmung ϕ unterscheidet sich von der Standardrahmung um
eine Abbildung
A → GL + (k + 1, R) ≃ SO(k + 1, R),
die mit der bis auf Homotopie eindeutigen Abbildung h −1 zusammengesetzt ein
Element in
[S 1 , SO(k + 1, R)] ∼ = π 1 SO(k + 1, R) ∼ = Z/2, k ≥ 2
liefert, das mit d(A, ϕ) ∈ Z/2 bezeichnet werde. Besteht nun A aus mehreren
Komponenten (A , | j ∈ J), so sei d(A, ϕ) die Summe der d(A j , ϕ j ).
(2.11) Satz. Durch (A, ϕ) ↦→ d(A, ϕ) wird für k ≥ 2 ein wohldefinierter Isomorphismus
d: ω 1 (k) → Z/2 induziert.
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3 Kohomologie von de Rham: Die höchste Dimension
Sei M eine glatte orientierte n-Mannigfaltigkeit. Sei Ω k c(M) der Vektorraum der
glatten k-Formen auf M mit kompaktem Träger.
Den Kokern der äußeren Ableitung d: Ω n−1
c (M) → Ω n c (M) bezeichnen wir
mit Hc n (M) und nennen diesen Vektorraum die n-te de Rham’sche Kohomologie-
Gruppe von M. Nach dem Satz von Stokes induziert die Integration von n-Formen
eine lineare Abbildung
∫
I M = : Hc n (M) → R,
denn M hat keinen Rand und deshalb ist das Integral über eine exakte Form
Null.
(3.1) Satz. Sei M eine orientierte, zusammenhängende, glatte n-Mannigfaltigkeit.
Dann ist I M : H n c (M) → R ein Isomorphismus.
Beweis. Wir haben schon in (??) gezeigt, daß die Aussage im Fall M = R n
richtig ist. Wir reduzieren den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall.
Sei i: U → M eine Inklusion einer offenen Teilmenge. Eine Form ω ∈ Ω n c (U)
können wir als Form auf M ansehen, indem wir sie außerhalb ihres Trägers als
Nullform fortsetzen. Dadurch wird eine Abbildung i # : H n c (U) → H n c (M) induziert,
und es gilt I M ◦ i # = I U . Ist ϕ: U → R n eine positive Karte, so folgt aus
der Definition der Integration von Formen, daß ω ↦→ ϕ ∗ ω einen Isomorphismus
ϕ ∗ : H n c (R n ) → H n c (U) induziert, der I U ◦ ϕ ∗ = I R n erfüllt. Insbesondere ist I U ein
Isomorphismus, weil wir entsprechendes für R n wissen.
Seien i: U → M, j: V → M offene Inklusionen, sei U ∩V ≠ ∅, und seien U und
V diffeomorph zu R n . Wir verwenden ferner die Inklusionen k: U ∩ V → U und
l: U ∩ V → V . Wir wissen schon, daß I U und I V Isomorphismen sind. Bezeichne
allgemein [ω] ∈ H n c (M) die Kohomologie-Klasse einer Form ω ∈ Ω n c (M). Sei