Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

6 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
dann n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und wird meist nur durch M bezeichnet.
Die Karten aus D heißen Karten der glatten Mannigfaltigkeit M. Der
Begriff ≪maximaler Atlas≫ dient nur der Festlegung der Begriffe. Man verwendet
meist einen Atlas A mit weniger Karten, der dann einen maximalen Atlas D(A)
erzeugt.
Sei U ⊂ R n offen. Dann ist die Identität (U, id, U) eine Karte für U. Damit
wird U zu einer n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Obgleich es hier
zunächst keine Koordinatentransformationen gibt, so wird man sich doch aus
der Analysis daran erinnern, daß diese auch für offene Teilmengen euklidischer
Räume eine große Rolle spielen, zum Beispiel in der Transformationsformel der
Integrationstheorie.
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und U ⊂ M offen. Die Gesamtheit der Karten
von M, deren Kartengebiete in U liegen, bildet einen glatten Atlas für U. Mit
dieser differenzierbaren Struktur versehen, heißt U offene Untermannigfaltigkeit
von M.
Eine nulldimensionale Mannigfaltigkeit ist eine endliche oder abzählbar unendliche
Menge von Punkten mit der diskreten Topologie. Eine zweidimensionale
Mannigfaltigkeit heißt Fläche. Eine kompakte Mannigfaltigkeit wird auch als geschlossen
bezeichnet.
Eine Abbildung f: M → N zwischen glatten Mannigfaltigkeiten heißt glatt,
wenn f stetig ist und wenn für Karten (U, h, U ′ ) um x und (V, k, V ′ ) um f(x)
die Abbildung kfh −1 immer glatt ist. Wir nennen kfh −1 eine Darstellung von
f in lokalen Koordinaten. (Natürlich ist kfh −1 nur auf der offenen Teilmenge
h(U ∩ f −1 V ) eines euklidischen Raumes definiert. Es empfiehlt, diese Daten
nicht pedantisch zu notieren.) Mit f: M → N und g: N → L ist auch gf glatt.
Eine glatte Abbildung M → N ist ein Diffeomorphismus, wenn sie eine glatte
Umkehrabbildung besitzt; und M und N heißen diffeomorph, wenn es einen
Diffeomorphismus M → N gibt.
Sind M und N glatte Mannigfaltigkeiten, so definieren alle Karten der Form
(U × V, f × g, U ′ × V ′ ) für Karten (U, f, U ′ ) von M und (V, g, V ′ ) von N eine
glatte Struktur auf M × N. Die damit definierte glatte Mannigfaltigkeit M × N
ist das Produkt von M und N. Die Projektionen auf die Faktoren sind glatt. Die
kanonischen Identifizierungen R m × R n = R m+n sind Diffeomorphismen.
Wie schon erwähnt, dienen die Kartenwechsel dazu, Mannigfaltigkeiten mit
weiteren Strukturen zu versehen. Wir haben uns hier der Einfachheit halber für
glatte Kartenwechsel entschieden, weil diese für die geometrische Untersuchung
ausreichen und keine schwerfällige Buchführung über die Differenzierbarkeitsordnung
verlangen. Ein Atlas mit C r -verbundenen Karten (r-mal stetig differenzierbar,
1 ≤ r ≤ ∞) liefert eine C r -Mannigfaltigkeit. Sind die Kartenwechsel reellanalytisch,
so erhalten wir reell-analytische Mannigfaltigkeiten. Eine wesentlich
andere Theorie entsteht bekanntlich, wenn die Kartenwechsel komplex differenzierbar
(holomorph) sind. Wir sprechen dann von komplexen Mannigfaltigkeiten.
Obgleich diese nicht unser Thema sind, so ist es doch manchmal bequem oder
ratsam, die komplexe Struktur zu benutzen.