Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

9 Morse-Theorie
1 Morse-Funktionen
Sei U ⊂ R n eine offene Umgebung der Null und f: U → R eine glatte Funktion
mit dem kritischen Punkt Null, das heißt, das Differential Df(0) von f im
Nullpunkt ist Null oder äquivalent, alle partiellen Ableitungen D i f(0) von f im
Nullpunkt sind Null. Die symmetrische Matrix der zweiten partiellen Ableitungen
( ) ∂
Hf(0) = D 2 2 f
f(0) = (0)
∂x i ∂x j
heißt Hesse-Matrix von f. Der kritische Punkt heißt regulär oder nichtausgeartet,
wenn diese Matrix regulär ist. Das Differential Df: U → Hom(R n , R) hat
die Ableitung D 2 f: U → Hom(R n , Hom(R n , R)). Wir identifizieren den letzten
Hom-Raum wie üblich mit dem Vektorraum der Bilinearformen auf R n . Die Bilinearform
D 2 f(0) wird in den Standardkoordinaten durch die Hesse-Matrix beschrieben
und heißt Hesse-Form des kritischen Punktes. Sei ϕ: U → V ein Diffeomorphismus
mit ϕ(0) = 0. Dann ist Null ein kritischer Punkt für f ◦ ϕ genau
dann, wenn dieses für f der Fall ist. Aus der Kettenregel folgt
(1.1) H(f ◦ ϕ)(0) = Dϕ(0) t · Hf(0) · Dϕ(0),
sofern der Nullpunkt für f kritisch ist. Also ist der Nullpunkt genau dann für
f ◦ ϕ regulär, wenn dieses für f gilt.
Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit, f: M → R eine glatte Funktion und p ein
kritischer Punkt von f. Seien X p , Y p ∈ T p M und seien X, Y in einer Umgebung
von p definierte glatte Vektorfelder mit den Werten X(p) = X p und Y (p) = Y p .
Dann gilt für die Lie-Klammer X p (Y f)−Y p (Xf) = [X, Y ] p f = 0. Die Abbildung
H p : T p M × T p M → R,
(X p , Y p ) ↦→ X p Y f
ist deshalb unabhängig von der Wahl von X und Y und eine symmetrische Bilinearform,
genannt die Hesse-Form von f im kritischen Punkt p. Wählen wir
lokale Koordinaten um p, so wird in der Basis ( ∂
∂x i
| p ) die Hesse-Form von f in
diesen Koordinaten durch die oben genannte Hesse-Matrix repräsentiert.
Ist H eine symmetrische Matrix, so heißt die Anzahl der negativen Eigenwerte
der Index der Matrix und der zugehörigen Bilinearform.
(1.2) Satz. Sei p ein nichtausgearteter kritischer Punkt vom Index i. Dann gibt
es eine in p zentrierte Karte (U, ϕ, V ) um p, so daß f ◦ ϕ −1 die Form
hat.
(y 1 , . . . , y n ) ↦→ f(p) − y 2 1 − · · · − y 2 i + y 2 i+1 + · · · + y 2 n