Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Weiteres zu Vektorraumbündeln 81
dieses Problem wiederum für die Sphäre. Das oben angegebene Vektorfeld kann
als Multiplikation mit i ∈ C in einem komplexen Vektorraum angesehen werden.
Feinere Methoden der linearen Algebra liefern linear unabhängige Vektorfelder.
Eine bilineare Abbildung µ: R k × R n → R n heiße orthogonale Multiplikation,
wenn für alle (x, y) ∈ R k × R n die Gleichheit |µ(x, y)| = |x||y| gilt. Wir nennen
µ normiert, wenn µ(e k , y) = y für e k = (0, . . . , 0, 1) gilt. Mit der orthogonalen
Abbildung α: v ↦→ µ(e k , v) ist ν(x, y) = µ(x, α −1 (y)) eine normierte orthogonale
Multiplikation. Ist µ: H × H t → H t die Skalarmultiplikation im Standardvektorraum
über den Quaternionen H, so ist µ eine orthogonale Multiplikation.
(3.2) Satz. Ist µ: R k × R n → R n eine orthogonale Multiplikation, so gibt es
k − 1 Vektorfelder auf S n−1 , die an jeder Stelle ein orthonormales (k − 1)-Bein
bilden.
Beweis. Wir können µ als normiert annehmen. Dann bilden
µ(e 1 , y), . . . , µ(e k−1 ), y = µ(e k , y)
ein Orthonormalsystem. Also sind die y ↦→ µ(e j , y) für 1 ≤ j ≤ k − 1 die
gewünschten Vektorfelder.
✷
Durch Verwendung der Quaternionen erhält man so zum Beispiel drei linear
unabhängige Vektorfelder auf den Sphären S 4n−1 .
Bilineare Abbildungen µ: R k ×R n → R n mit µ(e k , y) = y entsprechen umkehrbar
eindeutig den (k −1)-Tupeln linearer Abbildungen α j : R n → R n vermöge der
Zuordnung α j (y j ) = µ(e j , y). Man verifiziert:
(3.3) Hilfssatz. Genau dann ist µ eine normierte orthogonale Multiplikation,
wenn das System α 1 , . . . , α k−1 die folgenden Eigenschaften hat:
(1) Die α j sind orthogonal.
(2) Für alle j gilt α 2 j = − id.
(3) Für i ≠ j gilt α i α j + α j α i = 0. ✷
Die Eigenschaften (2) und (3) treten in der Theorie der Clifford–Algebren auf.
Die Clifford–Algebra C k über R ist eine R-Algebra mit Einselement, die von Elementen
e 1 , . . . , e k erzeugt wird, die den Relationen e 2 i = −1, e i e j + e j e i = 0 für
i ≠ j genügen. Als R-Vektorraum hat C k die Dimension 2 k . Eine Basis besteht
aus dem Einselement sowie den e i1 e i2 . . . e it mit i 1 < . . . < i t , t ≤ k. Moduln über
C k sind demnach reelle Vektorräume V zusammen mit einem System linearer Abbildungen
e j : V → V , die e 2 j = − id und e i e j + e j e i = 0 erfüllen. Man kann für
einen solchen Modul auch immer ein Skalarprodukt finden, so daß die e j orthogonale
Abbildungen werden; ist nämlich b: V × V → R irgendein Skalarprodukt,
so ist
〈v, w〉 = 1 ∑
b(σ(v), σ(w))
2 k+1
σ
ein Skalarprodukt mit den gewünschten Eigenschaften, wenn σ alle Elemente
±1, ±e i1 . . . e it durchläuft. Wir können deshalb sagen: