Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Sphären und projektive Räume 7
Eine besondere zusätzliche Strukur, die wir später noch ausführlich besprechen,
ist die Orientierung. Zwei glatte Karten heißen orientiert verbunden, wenn
die Jacobi-Matrix des Kartenwechsels überall positive Determinante hat. Ein Atlas
heißt orientierend, wenn je zwei seiner Karten orientiert verbunden sind. Hat
eine Mannigfaltigkeit einen orientierenden Atlas, so ist sie orientierbar. Eine Orientierung
ist ein orientierender Atlas, der als solcher maximal ist; seine Karten
heißen positiv bezüglich der Orientierung. Diese Definitionen sind allerdings nur
für Mannigfaltigkeiten positiver Dimension sinnvoll. Eine Orientierung einer 0-
dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist einfach eine Funktion ε: M → {±1}. Mit
der vorliegenden Definition kann man allerdings kaum direkt nachweisen, daß
eine Mannigfaltigkeit nichtorientierbar ist. Das liegt daran, daß die Nichtorientierbarkeit
eine ≪globale≫ Eigenschaft ist.
(1.1) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Die Inklusion U ⊂ M einer offenen Teilmenge U einer glatten Mannigfaltigkeit M
ist glatt. Ist f: M → N glatt, so auch f|U: U → N. Eine Karte (U, h, V ) einer glatten
Mannigfaltigkeit M ist ein Diffeomorphismus der offenen Untermannigfaltigkeit U von
M auf die offene Untermannigfaltigkeit V von R n . Sei E n (r) = {x ∈ R n | ‖x‖ < r} die
offene Kugel vom Radius r > 0 im R n . (Hierin bezeichnet ‖x‖ die euklidische Norm
des Vektors x.) Dann sind
f: E n (r) → R n , x ↦→
rx
√
r 2 − ‖x‖ 2 , g: Rn → E n (r), x ↦→
rx
√
r 2 + ‖x‖ 2
zueinander inverse Diffeomorphismen. Damit zeigt man leicht, daß eine (glatte) Mannigfaltigkeit
einen Atlas hat, dessen sämtliche Karten das Bild E n (r) haben (0 < r ≤ ∞
fest, E n (∞) = R n ).
2. Die Abbildung h: R → R, x ↦→ x 3 ist ein glatter Homöomorphismus, aber nicht
umkehrbar differenzierbar. Die beiden Karten (R, h, R) und (R, id, R) liefern deshalb
verschiedene glatte Strukturen auf dem topologischen Raum R. Seien N = (R, id)
und M = (R, h) die durch diese Karten bestimmten Mannigfaltigkeiten. Dann ist
h: M → N ein Diffeomorphismus. Übrigens ist jeder Homöomorphismus h: R → R eine
Karte von R.
3. (Die lange Halbgerade von Alexandroff [3].) Sei C die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen.
Sei L = C × [0, 1[ \{(0, 0)}. Versehen mit der lexikographischen Ordnung
und der dadurch induzierten Ordnungstopologie ist L die Alexandroffsche Halbgerade.
Sie ist ein hausdorffscher, zusammenhängender, eindimensionaler, lokal euklidischer
Raum, der keine abzählbare Basis hat. Es gibt sogar eine reell-analytische Struktur
auf L [88] [89].
2 Sphären und projektive Räume
Die einfachsten Beispiele für Mannigfaltigkeiten, die mindestens zwei Karten
in einem Atlas brauchen, sind die Sphären. Die n-dimensionale Sphäre ist
der Unterraum S n = {x = (x 0 , . . . , x n ) ∈ R n+1 | ‖x‖ = 1} der Vektoren
mit euklidischer Norm 1. Als Teilraum eines euklidischen Raumes ist S n ein