Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

56 4 Isotopien T. tom Dieck
∑ n
i=1 v ig i (0). Eine Isotopie wird durch
(x, t) ↦→
n∑
x i g i (tx) =
i=1
{ t −1 f(tx) t > 0
Df(0) t = 0
definiert.
Sind h 0 und h 1 ambient isotop und ist h 0 (M) ⊂ N abgeschlossen, so ist auch
h 1 (M) ⊂ N abgeschlossen. Daraus erkennt man leicht, daß nicht jede der soeben
konstruierten Isotopien durch eine Diffeotopie mitgeführt wird.
✸
(1.2) Satz. Je zwei strenge Tubenabbildungen sind isotop als strenge Tubenabbildungen.
Beweis. (1) Der Beweis verallgemeinert die Idee des vorigen Beispiels. Dazu
verschaffen wir uns zunächst geeignete Umstände. Sei M glatte m-
Untermannigfaltigkeit der glatten n-Mannigfaltigkeit N. Seien f 0 und f 1 Tubenabbildungen.
Wir setzten zunächst voraus: Zu jedem p ∈ M gibt es Kartenbereiche
U und V von M um p, über denen E(ν) trivial ist, derart daß
f 0 (E(ν)|U) ⊂ f 1 (E(ν)|V ) erfüllt ist. Dann sind f 0 und f 1 streng isotop.
Wegen der Voraussetzung ist f 0 (E(ν)) ⊂ f 1 (E(ν)). Wir betrachten deshalb
ϕ = f1 −1 f 0 : E(ν) → E(ν) und zeigen, daß ϕ streng isotop zur Identität ist. Die
Isotopie ψ t , t ∈ [0, 1] wird für t > 0 durch ψ t (v) = t −1 ϕ(tv) gegeben, und ψ 0 ist
natürlich die Identität. Für jedes t ist ψ t eine glatte Einbettung auf eine offene
Umgebung, die den Nullschnitt festläßt. Wir zeigen, daß ψ t streng ist und ψ
glatt. Wegen der Voraussetzung können wir ϕ in geeigneten lokalen Koordinaten
nämlich als Abbildung
ϕ: U × R n−m → V × R n−m , (x, y) ↦→ (f(x, y), g(x, y))
mit f(x, 0) = x, g(x, 0) = 0 schreiben. Es gibt eine Darstellung
g(x, y) =
n−m
∑
i=1
y i g i (x, y)
mit glatten Funktionen g i : R m × R n−m → R n−m , die überdies g i (x, 0) = ∂g
∂y i
(x, 0)
erfüllen. Daraus sehen wir, daß
(
(x, y, t) ↦→ ψ t (x, y) = f(x, ty), ∑ )
y ig i (x, ty)
i
glatt in x, y, t ist. Die Ableitung am Nullschnitt erfüllt
∂ψ t
∂y i
(x, 0) = g i (x, 0).
Da f 0 und f 1 streng sind, ist die Matrix mit den Zeilen g i (x, 0) die Einheitsmatrix
ist. Also ist auch ψ t streng.
(2) Wir zeigen nun, daß man die Zusatzvorausetzung aus (1) erfüllen kann. Sei