Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

48 3 Vektorfelder und Flüsse T. tom Dieck
(1.4) Beispiel. Q = {(x, y, z) ∈ R 3 | xz + y 2 = 1}, ein einschaliges Hyperboloid,
trägt eine glatte freie R-Operation
c · (x, y, z) = (x, y + cx, z − 2cy − c 2 x),
ein R-Prinzipalbündel, und der Orbitraum ist wiederum die Gerade mit den zwei
Nullpunkten.
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Allgemeiner als (1.1.5) gilt: Eine Integralkurve von endlicher Lebensdauer
verläßt jede kompakte Menge. Genauer:
(1.5) Notiz. Sei α: ]a, b[ → M eine Integralkurve mit maximalem Definitionsintervall,
sei K ⊂ M kompakt und b < ∞. Dann gibt es c < b, so daß α(t) /∈ K
für alle t > c.
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(1.6) Satz. Es gibt drei wesentlich verschiedene Typen von Integralkurven:
(1) Die Integralkurve ist konstant. (Bahnkurve durch eine Nullstelle des Vektorfeldes.)
(2) Die Integralkurve ist eine injektive Immersion.
(3) Die Integralkurve α ist periodisch mit Definitionsintervall R, das heißt es
gibt ein τ > 0, so daß α(s) = α(t) genau dann, wenn s − t ∈ τZ. Das
Bild von α ist dann eine kompakte glatte Untermannigfaltigkeit von M,
und α induziert einen Diffeomorphismus exp(2πit) ↦→ α(τt) von S 1 mit
dem Bild von α.
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(1.7) Satz. Sei M eine glatte Untermannigfaltigkeit von N und A ⊂ M eine
in N abgeschlossene Teilmenge. Dann gibt es zu einem glatten Vektorfeld X auf
M ein glattes Vektorfeld Y auf N, so daß Y |A = X|A ist und Y im Komplement
einer Umgebung von A in N Null ist.
Beweis. Durch Verwendung angepaßter Karten sieht man zunächst, daß sich
X lokal um jeden Punkt von M auf eine Umgebung in N erweitern läßt. Ist
(U j | j ∈ J) eine offene Überdeckung von N, Y j eine Erweiterung von X|N ∩ U j
auf U j und (τ j ) eine (U j ) untergeordnete glatte Partition der Eins, so ist durch
Y p = ∑ j τ(p)Y p
j eine Erweiterung von X gegeben. Wir wenden das auf eine
Überdeckung an, die aus N \ A und einer offenen Überdeckung von A besteht. ✷
(1.8) Satz. Es gibt glatte Vektorfelder X auf M, so daß für jedes p ∈ ∂M der
Vektor X p nach innen weist.
Beweis. Aus der Definition einer Mannigfaltigkeit mit Rand entnimmt man
leicht, daß zu jedem p ∈ ∂M eine offene Umgebung U(p) von p in M und ein
glattes Vektorfeld X(p) existiert, das entlang U(p)∩∂M nach innen weist. Zu der
Überdeckung (U(p) | p ∈ ∂M), U(0) = M \ ∂M wählen wir eine glatte Partition
der Eins (τ(p)). Dann hat X = ∑ p
τ(p)X(p) die verlangten Eigenschaften. ✷
Ein Kragen einer glatten ∂-Mannigfaltigkeit M ist eine glatte Abbildung
k: ∂M × [0, b[ , die ein Diffeomorphismus auf eine offene Umgebung von ∂M in
M ist und (x, 0) auf x abbildet (0 < b ≤ ∞).