Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

84 6 Bündel T. tom Dieck
Wir haben die Projektion γ k : E(γ k ) → G k (V ), und die Faser über dem Element
x ∈ G k (V ) ist der Unterraum x — deshalb: tautologisch. Es bleibt zu zeigen, daß
γ k lokal trivial ist. Zu diesem Zweck erinnern wir an das O(k)-Bündel p: V k (R n ) →
G k (R n ) aus dem letzten Abschnitt. Die Abbildung
V k (R n ) × O(k) R n → E(γ k ),
(v 1 , . . . , v k ), (λ 1 , . . . , λ k ) ↦→ (〈v 1 , . . . , v k 〉, ∑ λ j v j )
ist ein auf den Fasern linearer Homöomorphismus, siehe (3.1.1). Damit ist das
tautologische Bündel als ein assoziiertes Faserbündel geschrieben.
Über den komplexen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gibt es ebenso ein komplexes
tautologisches Bündel.
Über dem komplexen projektiven Raum hat man die folgenden komplexen
Geradenbündel. Sei H: S 2n+1 → CP n das Hopfsche S 1 -Prinzipalbündel (siehe
II(13.8)). Sei C(−k) der Vektorraum C zusammen mit der S 1 -Operation
S 1 × C → C, (λ, z) ↦→ λ −k z. Daraus erhält man ein assoziiertes komplexes Geradenbündel
H(k) = S 2n+1 × S 1 C(−k) → CP n .
Der Raum H(k) entsteht also aus S 2n+1 ×C durch die Äquivalenzrelation (x, z) ∼
(xλ, λ k z). Das tautologische Bündel über CP n = G 1 (C n+1 ) ist H(−1). Durch
S 2n+1 × S 1 C(1) → E(γ 1 ), (x, u) ↦→ ([x], ux)
wird ein Isomorphismus gegeben.
Der komplex-analytischen Situation besser angepaßt, läßt sich H(k) auch als
C n+1 \ 0 × C ∗ C(−k) beschreiben. Die Abbildung
σ: C n \ 0 × C ∗ C(−1) → C n , σ((x 1 , . . . , x n ), u) = (x 1 u, . . . , x n u)
ist von grundlegender Bedeutung für die algebraische Geometrie. Sie hat die
folgenden Eigenschaften:
(1) Die Fasern von H(−1) werden auf die Geraden durch den Nullpunkt
abgebildet.
(2) Der Nullschnitt E, das heißt die Menge aller Nullvektoren in den Fasern,
ist eine zu CP n−1 isomorphe Untermannigfaltigkeit von H(−1) und gleich
dem Urbild σ −1 (0).
(3) σ liefert einen Diffeomorphismus H(−1) \ E → C n \ 0.
Man bezeichnet σ als Hopfschen σ-Prozeß , Hopf [1955], oder als Aufblasen des
Nullpunktes von C n .
Die Schnitte des Bündels C n+1 \ 0 × C ∗ C(−k) → CP n entsprechen nach (1.5)
den Abbildungen h: C n+1 \ 0 → C mit der Homogenitätseigenschaft h(λx) =
λ k h(x), λ ∈ C ∗ , x ∈ C n+1 \ 0. Die homogenen Polynome vom Grad k liefern
keine Funktion auf CP n , wohl aber einen Schnitt im Bündel H(k). Aus diesem
Grunde haben wir auch H(k) nicht etwa als H(−k) bezeichnet, wie es nach der
formalen Definition vielleicht zunächst nahegelegen hätte. In der algebraischen