Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

124 7 Bordismus T. tom Dieck
und das ist wegen ∫ ∂P n
R ∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt = 0 gleich F dα, das heißt es
gilt d ˜F α = F dα. Folglich induziert F eine lineare Abbildung F : Hc n (R n ) →
(R n−1 ). Nun zur Produktbildung. Seien
H n−1
c
p: R n → R n−1 , (x 1 , . . . , x n ) ↦→ (x 1 , . . . , x n−1 )
q: R n → R, (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x n
die beiden Projektionen. Für ω = f(x 1 , . . . , x n−1 )dx 1 ∧ . . . ∧ dx n−1 ∈ Ω n−1
c (R n−1 )
und σ = ϕ(x n )dx n ∈ Ω 1 c(R) liegt
p ∗ ω ∧ q ∗ σ = f(x 1 , . . . , x n−1 )ϕ(x n )dx 1 ∧ . . . ∧ dx n
in Ω n c (R n ). Wir wählen ein σ mit ∫ ϕ(t)dt = 1 fest aus und bilden damit eine
R
lineare Abbildung
Π: Ω n−1
c (R n−1 ) → Ω n c (R n ), ω ↦→ p ∗ ω ∧ q ∗ σ.
Auch hier gilt die Verträglichkeit mit der äußeren Ableitung. Sei ω = dα. Dann
ist
d(p ∗ α ∧ q ∗ σ) = dp ∗ α ∧ q ∗ σ + (−1) n−1 p ∗ α ∧ dq ∗ σ = dp ∗ α ∧ q ∗ σ.
Bei der zweiten Gleichheit wurde dq ∗ σ = q ∗ dσ = 0 benutzt; und das gilt, weil σ
eine 1-Form ist. Damit erhalten wir dΠα = Πdα und sehen, daß Π eine lineare
Abbildung Π: Hc
n−1 (R n−1 ) → Hc n (R n ) induziert.
Wir zeigen nun, daß ΠF die identische Abbildung ist. Falls dem so ist, so ist
Π surjektiv, und weil nach Induktionsvoraussetzung Hc
n−1 (R n−1 ) eindimensional
ist, so ist Hc n (R n ) höchstens eindimensional. Fertig.
Für ω = f(x 1 , . . . , x n )dx 1 ∧ . . . ∧ dx n ist
∫
ω − ΠF = (f(x 1 , . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt · ϕ(x n ))dx 1 ∧ . . . ∧ dx n .
Diese Form ist die äußere Ableitung von
α = (−1) n−1 (
∫ x n
R
f(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt
−
∫
−∞
∫ x n
f(x 1 , . . . , x n−1 , t)dt ϕ(t)dt) · dx 1 ∧ . . . ∧ dx n−1 ;
R
−∞
und α hat kompakten Träger! Wegen ω − ΠF ω = dα repräsentieren ω und ΠF ω
in Hc n (R n ) dasselbe Element.
✷
(7.9) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Durch (7.6) läßt sich der Grad D(f) für eigentliche Abbildungen f: M → N
definieren. Es ist D(f) ∈ Z und ebenfalls gleich der Summe der Orientierungszahlen
für die Urbilder eines regulären Wertes. Ist H: M×I → N eine Homotopie von