Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

144 8 Weiteres T. tom Dieck
Das Resultat einer Dehn-Chirurgie mittels ( a b
c d)
hängt nur von der rationalen
Zahl b (oder ∞) ab. Um das einzusehen beachte man: Wird eine Mannigfaltigkeit
B mittels Diffeomorphismen f 1 , f 2 : ∂B → ∂M angeheftet und gibt es einen
d
Diffeomorphismus f: B → B, der f 1 f = f 2 erfüllt, so liefern beide Anheftungen
diffeomorphe Ergebnisse. Der Diffeomorphismus
S 1 × S 1 → S 1 × S 1 , (z, w) ↦→ (z k w l , z m w n )
läßt sich durch dieselbe Formel zu einen Diffeomorphismus von S 1 ×D 2 erweitern,
sofern l = 0 ist. Deshalb kann man auch Dehn-Chirurgie mittels
( ) ( )
a + kb b
−a + kb −b
oder
c + kd d
−c + kd −d
durchführen, um dasselbe Ergebnis zu erhalten. Da b und d teilerfremd sind, sind
mit einer Lösung (a, c) von ad − bc = 1 alle anderen durch (a + bk, c + dk), k ∈ Z
gegeben.
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Ein dreidimensionaler Henkelkörper H entsteht aus D 3 durch Anheften von
1-Henkeln. Ist f: ∂H → ∂H ein Diffeomorphismus, so entsteht aus zwei Exemplaren
H durch Identifikation mittels f eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit. Die
Daten (H, f) nennt man eine Heegaard-Zerlegung, nach der Dissertation von Heegaard
1898, die 1916 in französischer Übersetzung erschien [?]. Jede geschlossene
3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung [60].
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(3.10) Aufgaben und Ergänzungen.
1. M#S n ist immer zu M diffeomorph.
4 Homotopiesphären
Eine geschlossene (glatte) n-Mannigfaltigkeit M heißt Homotopiesphäre, wenn
sie zur Sphäre S n homotopieäquivalent ist. Falls dann M nicht diffeomorph zu
S n ist, so nennen wir M eine exotische Sphäre. Aus dem Satz von Hurewicz und
dem Satz von Whitehead folgt, daß für n > 1 eine geschlossene Mannigfaltigkeit
genau dann eine Homotopiesphäre ist, wenn sie einfach zusammenhängend
ist und H ∗ (M; Z) zu H ∗ (S n ; Z) isomorph ist. Wegen H n (M) ∼ = Z ist eine n-
Homotopiesphäre (homologisch) orientierbar. Setzt man nur die Isomorphie der
Homologiegruppen voraus aber nichts über die Fundamentalgruppe, so spricht
man von einer Homologiesphäre.
(4.1) Notiz. Sei M eine n-Homotopiesphäre. Dann ist M \p zusammenziehbar.
Ebenso M \ U, falls U zu D n homöomorph ist.
Beweis.
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(4.2) Verdrillte Sphären. Sei f: S n−1 → S n−1 ein Diffeomorphismus. Wir
benutzen ihn dazu, um aus D n + D n durch Randverheftung die Mannigfaltigkeit