Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

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146 8 Weiteres T. tom Dieck Beweis. Der vorstehende Satz ist auch für n ≠ 3 richtig. Im Fall n ≤ 2 ist das klassisch. Für n = 5 siehe ??, für n = 4 siehe ??. Der Fall n = 3 ist die berühmte Poincarésche Vermutung. ✷
9 Morse-Theorie 1 Morse-Funktionen Sei U ⊂ R n eine offene Umgebung der Null und f: U → R eine glatte Funktion mit dem kritischen Punkt Null, das heißt, das Differential Df(0) von f im Nullpunkt ist Null oder äquivalent, alle partiellen Ableitungen D i f(0) von f im Nullpunkt sind Null. Die symmetrische Matrix der zweiten partiellen Ableitungen ( ) ∂ Hf(0) = D 2 2 f f(0) = (0) ∂x i ∂x j heißt Hesse-Matrix von f. Der kritische Punkt heißt regulär oder nichtausgeartet, wenn diese Matrix regulär ist. Das Differential Df: U → Hom(R n , R) hat die Ableitung D 2 f: U → Hom(R n , Hom(R n , R)). Wir identifizieren den letzten Hom-Raum wie üblich mit dem Vektorraum der Bilinearformen auf R n . Die Bilinearform D 2 f(0) wird in den Standardkoordinaten durch die Hesse-Matrix beschrieben und heißt Hesse-Form des kritischen Punktes. Sei ϕ: U → V ein Diffeomorphismus mit ϕ(0) = 0. Dann ist Null ein kritischer Punkt für f ◦ ϕ genau dann, wenn dieses für f der Fall ist. Aus der Kettenregel folgt (1.1) H(f ◦ ϕ)(0) = Dϕ(0) t · Hf(0) · Dϕ(0), sofern der Nullpunkt für f kritisch ist. Also ist der Nullpunkt genau dann für f ◦ ϕ regulär, wenn dieses für f gilt. Sei M eine glatte n-Mannigfaltigkeit, f: M → R eine glatte Funktion und p ein kritischer Punkt von f. Seien X p , Y p ∈ T p M und seien X, Y in einer Umgebung von p definierte glatte Vektorfelder mit den Werten X(p) = X p und Y (p) = Y p . Dann gilt für die Lie-Klammer X p (Y f)−Y p (Xf) = [X, Y ] p f = 0. Die Abbildung H p : T p M × T p M → R, (X p , Y p ) ↦→ X p Y f ist deshalb unabhängig von der Wahl von X und Y und eine symmetrische Bilinearform, genannt die Hesse-Form von f im kritischen Punkt p. Wählen wir lokale Koordinaten um p, so wird in der Basis ( ∂ ∂x i | p ) die Hesse-Form von f in diesen Koordinaten durch die oben genannte Hesse-Matrix repräsentiert. Ist H eine symmetrische Matrix, so heißt die Anzahl der negativen Eigenwerte der Index der Matrix und der zugehörigen Bilinearform. (1.2) Satz. Sei p ein nichtausgearteter kritischer Punkt vom Index i. Dann gibt es eine in p zentrierte Karte (U, ϕ, V ) um p, so daß f ◦ ϕ −1 die Form hat. (y 1 , . . . , y n ) ↦→ f(p) − y 2 1 − · · · − y 2 i + y 2 i+1 + · · · + y 2 n
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