Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Elementare Bordismen 153
ein Diffeomorphismus ist. Eine Umkehrung wird durch
(
)
v
(u, v, t) ↦→ uγ(c, t),
‖v‖ δ(c, t)
mit c = 1 sinh 2‖u‖‖v‖ definiert, wie man durch Nachrechnen verifiziert. Wir
2
setzen für d > 0
L a,b (d) = {(x, y) ∈ R a × R b | −1 ≤ −‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 ≤ 1, 2‖x‖‖y‖ < sinh 2d}
und L a,b (1) = L a,b Dann verifizert man, daß Ψ durch Einschränkung einen Diffeomorphismus
(2.3) Ψ: L a,b (d) ∩ ((R a \ 0) × (R b \ 0)) → S a−1 × (E b (d) \ 0) × D 1
induziert. Mit diesen Daten definieren wir den Bordismus H(V, ϕ) durch die
Identifizierung in der disjunkten Summe L a,b + (V \ ϕ(S a−1 × 0)) × D 1
(V \ ϕ(S a−1 × 0)) × D 1 L a,b
✻
ϕ × id
✻
∪
S a−1 × (E b \ 0) × D 1 ✛ Ψ L a,b ∩ ((R a \ 0) × (R b \ 0)).
Die entstehende Mannigfaltigkeit hat zwei Randteile V und χ(V, ϕ). Der erste
ist gegeben durch gegeben durch V → H(V, ϕ)
{ (z, −1) z ∈ V \ ϕ(S
z ↦→
a−1 × 0)
(u cosh Θ, v sinh Θ) ∈ L a,b z = ϕ(u, Θv), ‖u‖ = ‖v‖ = 1.
Hierzu beachte man Ψ(u cosh Θ, v sinh Θ) = (u, Θv, −1). Der zweite durch
χ(V, ϕ) → H(V, ϕ)
V \ ϕ(S a−1 × 0) ∋ z ↦→ (z, 1)
E a × S b−1 ∋ (Θu, v) ↦→ (u sinh Θ, v cosh Θ).
Eine Morse-Funktion f: H(V ; ϕ) → [−1, 1] mit den gewünschten Eigenschaften
wird durch
definiert.
f(x, c) = c (x, c) ∈ (V \ ϕ(S a−1 × 0)) × D 1
f(x, y) = −‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 (x, y) ∈ L a,b
(2.4) Satz. Sei f: B → [a, b] eine Morse-Funktion mit genau einem kritischen
Punkt. Dann ist B diffeomorph zu einem elementaren Bordismus H(V, ϕ).
Beweis. Ohne wesentliche Einschränkung nehmen wir [a, b] = [−d, d] an, und
der kritische Punkt p habe den Wert f(p) = 0. Nach dem Morse-Lemma wählen
wir eine lokale Parametrisierung α: W → U, zentriert in p, so daß fα(x, y) =
✷