Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Normalenbündel und tubulare Umgebungen 53
U, die in einer Umgebung des Nullschnittes die Identität ist (Schrumpfung von
E).
Beweis. Wir wählen eine Riemannsche Metrik auf E. Es gibt eine glatte Funktion
ε: A → ]0, ∞[ , so daß
U ε(a) (a) = {x ∈ E a |‖x‖ < ε(a)} ⊂ U
ist. Sei ϕ η : [0, ∞[ → [0, η[ ein Diffeomorphismus, der auf [0, η/2[ die Identität ist
und glatt von η abhängt. Wir setzen σ(v) = ϕ ε(qv) (‖v‖)‖v‖ −1 v.
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Eine Tubenabbildung einer glatten Untermannigfaltigkeit A ⊂ M ist eine glatte
Einbettung t: NA → M auf eine offene Menge U ⊂ M, die auf dem Nullschnitt
die Identität ist. Wir nennen eine Umgebung U von A in M, die auf diese
Weise entsteht, eine tubulare Umgebung Umgebung von A in M. Die Bündelprojektion
wird durch die Tubenabbildung in eine glatte Retraktion r: U → M
transportiert, und die Fasern dieser Retraktion sind alle diffeomorph zu einem
euklidischen Raum. Wir sprechen von einer partiellen Tubenabbildung, wenn sie
nur eine offene Umgebung des Nullschnittes von NA diffeomorph auf eine offene
Umgebung von A in M abbildet. Durch Schrumpfung läßt sich aber daraus eine
global definierte Tubenabbildung gewinnen. Eine Tubenabbildung heiße streng,
wenn ihr Differential am Nullschnitt eine weitere Bedingung erfüllt, die wir jetzt
erläutern. Das Differential von t, eingeschränkt auf T NA|A, ist ein Bündelmorphismus
T NA|A → T M|A.
Diesen setzen wir mit der Inklusion
und der Projektion
NA → NA ⊕ T A ∼ = T NA|A
T M|A → NA = (T M|A)/T A
zusammen. Ergibt sich dann die Identität, so heißt t streng. Analog für partielle
Tubenabbildungen. Durch den Schrumpfungsprozeß (4.1) ändert sich diese
Eigenschaft nicht.
(4.2) Satz. Jede glatte Untermannigfaltigkeit A ⊂ M besitzt eine strenge Tubenabbildung.
Beweis. Wir haben am Anfang des Abschnittes gesehen, daß die Exponentialabbildung
eines Sprays durch Einschränkung immer eine partielle Tubenabbildung
liefert, die dann durch Schrumpfung zu einer globalen verbessert werden
kann. Nach Konstruktion ist sie streng.
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Indem wir mit einer Tubenabbildung die Bündelprojektion transportieren,
erhalten wir:
(4.3) Notiz. Eine glatte Untermannigfaltigkeit A von M ist glatter Retrakt eine
offenen Umgebung.
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