Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Bestimmung von Tangentialbündeln 87
(4.2) Satz. Operiert die diskrete Gruppe G frei und eigentlich auf M, so induziert
die Orbitabbildung M → M/G einen Bündelisomorphismus von (T M)/G
mit T (M/G).
✷
Mit dem letzten Satz ist zum Beispiel gesagt, wie das Tangentialbündel des
projektiven Raumes RP n aus dem von S n entsteht. Wir haben früher einen
kanonischen Isomorphismus T S n ⊕ ε ∼ = (n + 1)ε angegeben. Operiert Z/2 auf
T S n ⊕ ε durch das Differential der antipodischen Abbildung auf T S n und trivial
auf ε, so geht diese Operation bei dem genannten Isomorphismus in S n ×R n+1 →
S n ×R n+1 , (x, v) ↦→ (−x, −v) über. Wir betrachten die Orbiträume und erhalten
(4.3) T (RP n ) ⊕ ε ∼ = (n + 1)γ
mit dem tautologischen Geradenbündel γ über RP n . Damit haben wir das stabile
Tangentialbündel von RP n bestimmt. Analog verfährt man im Komplexen und
erhält für das komplexe(!) Tangentialbündel die Relation
(4.4) T (CP n ) ⊕ ε C
∼ = (n + 1)γ
mit dem komplexen trivialen Bündel ε C und dem tautologischen Bündel γ.
Im allgemeinen hat q: (T M)/G → T (M/G) einen Kern, der nach Abschnitt
3 ein Bündel K → M/G mit Faserdimension dim G ist. Wir werden sehen,
daß das Kernbündel zum Prinzipalbündel M → M/G assoziiert ist. Zu seiner
Beschreibung benötigen wir die adjungierte Darstellung einer Lieschen Gruppe.
Sei L(G) = T e (G) der Tangentialraum im neutralen Element. Die Operation
durch Konjugation
c: G × G → G, (g, x) ↦→ gxg −1 =: c g (x)
hat e ∈ G als Fixpunkt und liefert über das Differential eine Operation
Ad: G × L(G) → L(G), (g, v) ↦→ (T c g )v.
Damit ist eine Darstellung von G gegeben, die adjungierte Darstellung von G genannt
wird. Sie enthält weitreichende infinitesimale Information über die Gruppenmultiplikation
und spielt eine wesentliche Rolle in der Strukturtheorie der
Lieschen Gruppen.
(4.5) Satz. Das Kernbündel K → M/G von q: (T M)/G → T (M/G) ist isomorph
zu dem assoziierten Bündel M × G L(G) → M/G.
Beweis. Damit die Formulierung des Satzes mit früheren Bezeichnungen im
Einklang ist, gehen wir von einer Rechtsoperation von G auf M aus. Wir konstruieren
eine Abbildung k: T M → M × L(G) wie folgt. Sei ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 ): p −1 (U) →
U × G ein G-Diffeomorphismus über der in M/G offenen Menge U (eine Bündelkarte
des Prinzipalbündels). Sei x ∈ p −1 (U), v ∈ T x M und ϕ(x) = (u, g). Wir
setzen
k(v) = (x, T lg
−1 ◦ T ϕ 2 (v)).