Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Einbettungen 35
2n−1 < q−1 gilt dasselbe für τ, denn man bildet dann jeweils eine Mannigfaltigkeit
kleinerer Dimension ab (ein leichter Spezialfall des Satzes von Sard). Es gibt
deshalb in jeder Umgebung von w ∈ S q−1 Vektoren v, so daß p v ◦ Φ = ψ v eine injektive
Immersion, wegen der Kompaktheit von M also eine Einbettung ist. Nach
Konstruktion stimmt Φ v auf V mit f überein. Indem wir Ψ eventuell durch sΨ
(mit kleinem s) ersetzen, können wir ‖f(x) − Φ(x)‖ ≤ ε/2 erreichen. Es läßt sich
f als Zusammensetzung von Φ mit Projektionen R q → R q−1 → . . . → R 2n+1 entlang
der Einheitsvektoren (0, . . . , 1) schreiben. Alle genügend kleinen Veränderung
dieser Projektionen machen aus Φ eine Abbildung g mit ‖f(x) − g(x)‖ < ε,
und unter diesen finden wir nach dem Satz von Sard welche, für die g eine Einbettung
ist.
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Aus den voranstehenden Überlegungen entnimmt man, daß für Immersionen
eine Dimension weniger gebraucht wird. Wir notieren:
(1.6) Satz. Sei f: M → R 2n eine glatte Abbildung einer kompakten Mannigfaltigkeit.
Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Immersion h: M → R 2n , die
‖h(x) − f(x)‖ < ε für alle x ∈ M erfüllt. Ist f: M → R 2n+1 eine glatte Einbettung,
so liegen die Vektoren v ∈ S 2n , für die die Projektion p v ◦ f: M → R 2n
eine Immersion ist, dicht in S 2n .
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Beweis von (1.1). Sei h: M → [0, ∞[ glatt und eigentlich. Wir setzen U i =
h −1 ]i − 1, i + 5[ und K 4 4 i = h −1 ]i − 1, i + 4[ . Dann ist U 3 3 i offen, K i kompakt und
U i ⊂ K i . Nach dem Verfahren von (1.4) gibt es glatte s i : M → R 2n+1 , die auf
einer Umgebung von U i eine Einbettung sind und außerhalb von K i gleich Null.
Indem wir eventuell mit einem Diffeomorphismus von R 2n+1 zusammensetzen,
können wir annehmen, daß alle s i ein in D = D 2n+1 gelegenes Bild haben. Wir
setzen f j als die Summe der s i mit i ≡ j mod 2 und f = (f 0 , f 1 , h): M →
R 2n+1 × R 2n+1 × R = V . Nach Konstruktion ist f(M) ⊂ D × D × R = K × R.
Sei f(x) = f(y); dann ist h(x) = h(y); es gibt also ein i mit x, y ∈ U i ; weil
dort s i injektiv ist, folgt x = y. Also ist f eine Einbettung, mit abgeschlossenem
Bild, da f mit h eigentlich ist. Wieder nach dem Verfahren von (1.4) gibt es
eine Projektion p: V → H auf einen 2n + 1-dimensionalen Unterraum H, so daß
p ◦ f eine injektive Immersion ist. Ferner kann p so gewählt werden, daß der
Kern von p mit dem Kern der Projektion q: V → R 2n+1 × R 2n+1 den Schnitt
Null hat. Wir behaupten, daß p ◦ f eigentlich ist. Sei C ⊂ H kompakt. Dann ist
(p ◦ f) −1 (C) = f −1 p −1 (C) ⊂ (K × R) ∩ p −1 (C) = (q, p) −1 (K × C) kompakt, da
die lineare Inklusion (q, p) eigentlich ist.
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(1.7) Satz. Eine kompakte glatte n-Mannigfaltigkeit B mit Rand M besitzt eine
glatte Einbettung vom Typ 1 in D 2n+1 .
Beweis. Sei j: M → S 2n eine Einbettung. Wir benutzen die Existenz eines
Kragens (12.9), das heißt eines Diffeomorphismus k: M × [0, 1[ → U auf eine
offene Umgebung U von M in B. Sei l = (l 1 , l 2 ) die Umkehrung von k. Damit