Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 5 Der Satz vom Hauptorbit 75
Hauptorbits: Andernfalls wären alle Orbits in SV also in V 0-dimensional. Die
G-Orbits von G × U V hätten also die Dimension von G/U, im Widerspruch zur
Annahme über U (und der Dichtigkeit der Hauptorbits, beim Übergang von allgemeinen
M zu G × U V ). Also können wir auf SV U die Induktionsvoraussetzung
anwenden: dim SV U ≤ dim SV − 2.
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Ein Orbit mit kleinerer Dimension als der Hauptorbit heiße singulär; ein vom
Hauptorbit verschiedener mit derselben Dimension exzeptionell.
(5.5) Satz. Die kompakte Liegruppe G operiere glatt und effektiv auf der zusammenhängenden
n-Mannigfaltigkeit M. Dann gilt
dim G ≤ 1 n(n + 1).
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Beweis. Induktion nach n. Ist n = 0, so ist M ein Punkt, also M = G/G, also
G = {e}, da die Operation effektiv ist.
Wir setzen G als zusammenhängend voraus, denn die Komponente von e operiert
effektiv und hat dieselbe Dimension.
Sei G/H Hauptorbit, also dim G ≤ n + dim H. Falls H effektiv auf einer
zusammenhängenden k-Mannigfaltigkeit mit k ≤ n − 1 operiert, so folgt mittels
Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Es ist k = dim G/H ≤ n, und G operiert effektiv auf G/H. Würde nämlich
g ∈ G trivial auf G/H operieren, so trivial auf dem Hauptorbitbündel, also
(Dichtigkeit und Stetigkeit) überhaupt trivial. Deshalb operiert die Komponente
H 0 von e von H effektiv auf G/H und auf einem Hauptorbit der H 0 -
Mannigfaltigkeit G/H. Dieser Hauptorbit ist zusammenhängend. Falls die Dimension
dieses Hauptorbits kleiner als k ist, sind wir fertig.
Andernfalls ist H 0 eH = G/H, und G/H ist ein Punkt, also G = {e} wegen
der Effektivität.
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(5.6) Beispiel. Die Gruppe SO(n + 1) hat die Dimension (n + 1)n/2. Sie operiert
effektiv auf S n und RP n . (Man kann zeigen, daß es keine anderen Beispiele
für diesen Extremfall gibt.)
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