Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

60 4 Isotopien T. tom Dieck
Es gibt eine Diffeotopie von K ◦ , die k|(∂M ×[0, ε])×[0, 1] mitführt und außerhalb
einer kompakten Menge von K ◦ konstant ist. Wir können sie außerhalb von
K ◦ konstant zu einer Diffeotopie von M fortsetzen. Letztere hat die gewünschten
Eigenschaften.
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(1.9) Beispiel. Für jedes t ∈ R ist
h t : ]0, ∞[ → R 2 ,
x ↦→ ((x −1 t 2 − x) 2 , (x −1 t 2 − x)t)
eine Einbettung. Ist t ≠ 0, so ist t −1 ◦pr 2 ◦h t : x ↦→ x −1 t 2 −x ein Diffeomorphismus
]0, ∞[ → R; und im Fall t = 0 ist pr 1 ◦h t : x ↦→ x 2 eine Einbettung mit dem Bild
]0, ∞[. Folglich ist h t eine glatte Isotopie. Es gilt für den Film
h # ( √ 1 + t 2 − 1, t) = (4, 2t, t), t ≠ 0.
Bei t → 0 konvergiert dieser Wert gegen (4, 0, 0) im Bild von h # . Dagegen konvergiert
( √ 1 + t 2 − 1, t) nicht in ]0, ∞[ ×R. Demnach ist h # keine Einbettung und
die Isotopie nicht strikt. Das Bild P von h # ist auch keine Untermannigfaltigkeit.
Es ist nämlich P die Teilmenge von
Q = {(x, y, z) ∈ R 3 | xz 2 = y 2 },
die durch z ≠ 0, x ≥ 0 und z = 0, x > 0 herausgeschnitten wird. Der Schnitt von
P mit der Ebene {x = a 2 > 0} besteht aus den beiden Geraden {(a 2 , ±at, t) |
t ∈ R}, und P ∩ {x > 0} besteht aus zwei sich entlang der positiven x-Achse
transvers schneidenden Untermannigfaltigkeiten von R 3 .
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2 Eigentliche Submersionen
In den nächsten beiden Abschnitten wenden wir ebenfalls Flüsse von Vektorfeldern
an. Zunächst zeigen wir, daß eigentliche Submersionen lokal triviale Abbildungen
sind.
(2.1) Satz. Sei f: M → J eine eigentliche glatte Submersion auf ein offenes
Intervall J von R. Dann gibt es einen Diffeomorphismus Φ: Q × J → M, so daß
f ◦ Φ die Projektion auf J ist.
Beweis. Es gibt ein glattes Vektorfeld X auf M, so daß T p f(X p ) = X p f für alle
p ∈ M gleich 1 ist. (Zum Beweis wählen wir eine Riemannsche Metrik auf M,
bilden damit das Gradientenfeld von f und dividieren an jeder Stelle durch das
Normquadrat des Feldvektors.) Sei Ψ der Fluß von X. Wir fixieren σ ∈ J und
setzen Q = f −1 (σ). Sei x ∈ Q und α: I → M die maximale Integralkurve von
X mit Anfang α(σ) = x. Da f ◦ α nach Wahl von X die konstante Ableitung
1 hat, gilt fα(t) = t. Da f eigentlich ist und eine Integralkurve mit endlichem
Definitionsintervall jede kompakte Menge verläßt (siehe (12.2)), ist I = J. Mittels
Ψ können wir α in der Form α(t) = Ψ(t − σ, x) schreiben. Es gilt fΨ(t, x) =