Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Algebraische Topologie von Seifert-Faserungen 135
(1.19) Bemerkung. Wir haben im voranstehenden Beweis gesehen, daß die
Invarianten einer Seifert-Faserung der Einschränkung unterliegen, daß
m∑ d i
e +
i=1
eine ganze Zahl ist, wobei die d i die Gleichung ν i d i ≡ 1 mod µ i erfüllen. Alle
Invariantensysteme, die dieser Einschränkung genügen, lassen sich realisieren.✸
2 Algebraische Topologie von Seifert-Faserungen
Ist T ⊂ Q ein Unterring, so nennen wir eine 3-Mannigfaltigkeit M eine T -
Homologiesphäre, wenn H ∗ (M; T ) ∼ = H ∗ (S 3 ; T ) ist. Im Fall T = Z sprechen
wir kürzer von Homologiesphäre.
Sei M eine Seifert-Faserung mit Orbitraum F und enthalte K alle Standgruppen.
Dann haben wir eine exakte Homotopiesequenz
π 2 (F ) → π 1 (S 1 ) → π 1 (M/K) → π 1 (F ) → 1.
Da M/K aus einer S 1 -Operation entsteht, ist H 1 (M; Q) ∼ = H 1 (M/K; Q). Ist also
H 1 (M; Q) = 0, so ist auch H 1 (F ; Q) = 0. Ist M eine Q-Homologiesphäre, so ist
also der Orbitraum F = S 2 .
Wir bestimmen die erste Homologiegruppe einer Seifert-Faserung mit dem
Orbitraum S 2 . Dazu gehen wir von den Standardmodellen aus. Seien D 1 , . . . , D r
disjunkte abgeschlossene 2-Zellen in S 2 . Dann ist
µ i
C = (S 2 \ ⋃ j
D ◦ j ) × S 1 = N × S 1
eine 3-Mannigfaltigkeit mit r Randkomponenten S i × S 1 . An diese Randkomponenten
wird jeweils ein Exemplar S i × D 2 mit einem Diffeomorphismus ϕ i
N × S 1 ⊃ S i × S 1 ✛ ϕ i
angeheftet, der zu einer Matrix
A i =
S i × S 1 ⊂ S i × D 2
( )
ai c i
∈ SL(2, Z)
b i d i
gehört. Sei M das Resultat. Wir bestimmen H 1 (M) aus der Mayer-Vietoris-
Sequenz, die zu dieser Anheftung gehört. Sie zeigt, daß H 1 (M) der Kokern der
darin vorkommenden Abbbildung
α: H 1 (∐ i S i × S 1 ) → H 1 (C) ⊕ H 1 (∐ i S i × D 2 )
ist. Wir wählen geeignete Erzeugende der Homologiegruppen, und zwar:
H 1 (C) : y i = [S i × 1], y = [x × S 1 ]
H 1 (∐ i S i × D 2 ) : e i = [S i × 1]
H 1 (∐ i S i × S 1 ) : u i = [S i × 1], v i = [1 × S 1 ].