Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Weiteres zu Vektorraumbündeln 83
Eine Mannigfaltigkeit M mit trivialem Tangentialbündel heißt parallelisierbar.
Dieser Begriff geht auf Stiefel [1936] zurück, der zeigte, daß alle orientierbaren
3-Mannigfaltigkeiten parallelisierbar sind. Dem Wort liegt folgende Problematik
zugrunde: Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen lassen sich zunächst
ihrer Lage nach nicht vergleichen. Im euklidischen Raum jedoch kann dieser
Vergleich durch Parallelverschiebung bewirkt werden. Hat man allgemeiner eine
Trivialisierung α: T M → M × R n eines Tangentialbündels, so kann diese zum
Vergleich mit Standardvektoren des R n verwendet werden. Es gibt viele Trivialisierungen
eines trivialen Bündels. Ist β eine weitere Trivialisierung, so hat
βα −1 : M × R n → M × R n die Form (x, v) ↦→ (x, t x (v)), wobei t x : R n → R n
ein linearer Automorphismus ist. In dieser Weise entsprechen die Trivialisierungen
den stetigen Abbildungen t: M → GL(n, R), wenn eine einmal gegeben ist.
Die moderne Differentialgeometrie benutzt im Begriff des “Zusammenhangs den ”
Vergleich von Tangentialräumen als grundlegenden Strukturbegriff.
(3.9) Satz. Eine Liesche Gruppe G ist parallelisierbar.
Beweis. Sei T e (G) := L(G) der Tangentialraum im neutralen Element. Die
Gruppenmultiplikation wird benutzt, um ihn zu transportieren. Sei l g : G →
G, x ↦→ gx die Linkstranslation mit g, ein Diffeomorphismus. Durch
G × L(G) → T (G), (g, v) ↦→ T (l g )(v)
wird ein Diffeomorphismus und eine Trivialisierung von T (G) beschrieben.
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(3.10) Bemerkung. Man kann im vorstehenden Satz auch die Rechtstranslationen
verwenden. Dann erhält man im allgemeinen eine andere Trivialisierung.
(3.11) Das Möbiusband. Das einfachste nichttriviale Bündel ist ein Geradenbündel
über S 1 , das man sich als das berühmte Möbiusband vorstellen
kann (Möbius 1858 [Werke II], p. 484). Formal kann es definiert werden als
E = S 1 × G R, wobei G = Z/2 = {±1} auf S 1 und R durch (λ, z) ↦→ λz operiert.
Es ist also assoziiert zu dem Z/2-Prinzipalbündel q: S 1 → S 1 , z ↦→ z 2 (S 1 ⊂ C
betrachtet). Wäre das Bündel trivial, so gäbe es einen Schnitt s: S 1 → E, der
nirgendwo der Nullvektor ist, also nach (1.5) eine Abbildung σ: S 1 → R \ {0},
die σ(−z) = −σ(z) erfüllt. Letzteres führt aber mit dem Zwischenwertsatz der
Analysis leicht zu einem Widerspruch.
In analoger Weise stellt man für alle n ≥ 1 ein nicht-triviales Geradenbündel
S n × G R 1 → RP n = S n /G her.
(3.12) Tautologische Bündel. Ein Vektorraumbündel ist eine stetige Familie
von Vektorräumen. Das wird besonders deutlich durch das sogenannte tautologische
Bündel über einer Grassmannschen Mannigfaltigkeit belegt. Sei V ein
n-dimensionaler reeller Vektorraum und G k (V ) die Grassmannsche Mannigfaltigkeit
der k-dimensionalen Unterräume von V (siehe I.5)
E(γ k ) = {(x, v) | x ∈ G k (V ), v ∈ x} ⊂ G k (V ) × V.