Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

120 7 Bordismus T. tom Dieck
wird ein Homöomorphismus S m ∗ S n ∼ = S m+n+1 geliefert. Sind f: X → X ′ und
g: Y → Y ′ gegeben, so wird durch f × id(I) × g eine Abbildung f ∗ g: X ∗ Y →
X ′ ∗ Y ′ induziert. Haben f: S m → S m bzw. g: S n → S n den Grad a bzw. b, so
hat f ∗ g den Grad ab.
5. Hat f i : M i → N i den Grad d i und tragen die M 1 × M 2 und N 1 × N 2 die
Produkt-Orientierung, so hat f 1 × f 2 den Grad d 1 d 2 .
6. Sei M orientierter Rand der kompakten (n + 1)-Mannigfaltigkeit B. Eine Abbildung
f: M → S n läßt sich so zu F : B → R n+1 erweitern, daß F −1 (0) höchstens
ein Element enthält.
7. Seien p, q ∈ C[z] teilerfremde komplexe Polynome vom Grad m, n. Die rationale
Funktion f: z ↦→ p(z)/q(z) kann als eine glatte (sogar holomorphe) Abbildung
f: CP 1 → CP 1 angesehen werden. Ist a = max(m, n), so läßt sie sich in
homogenen Koordinaten genauer als
[z, w] ↦→ [w a p( z w ), wa q( z w )]
schreiben, denn w a p(z/w) ist nach Ausmultiplizieren ein homogenes Polynom
vom Grad a. Ist c ∈ C so gewählt, daß z ↦→ p(z) − cq(z) ein Polynom vom
Grad a ist, so ist [c, 1] ∈ CP 1 ein regulärer Wert von f. Da eine komplex-lineare
Abbildung orientierungserhaltend ist, so hat folglich f den Grad a. Insbesondere
hat ein Polynom vom Grad m als Abbildung von CP 1 ∼ = S 2 auch den Grad m.
7 Der analytische Abbildungsgrad
Der Abbildungsgrad kann analytisch mit Hilfe der Integrationstheorie erhalten
werden. Dazu gehen wir von einer orientierten glatten n-Mannigfaltigkeit
M ohne Rand aus. Wir bezeichnen mit Ω k c(M) den Vektorraum der C ∞ -
Differentialformen vom Grad k auf M mit kompaktem Träger. (Der Index c
weist auf kompakte Träger hin.) Die äußere Ableitung von Formen liefert eine
lineare Abbildung
(7.1) d k = d: Ω k c(M) → Ω k+1
c (M).
Bekanntlich gilt d k+1 ◦ d k = 0, und deshalb ist der Vektorraum
(7.2) H k c (M) = Kern d k /Bild d k−1
definiert. Der Vektorraum Hc k (M) wird k-te Kohomologiegruppe von M im Sinne
von de Rham genannt. Trotz der analytischen Definition handelt es sich um eine
topologische Invariante von M. Die Übereinstimmung mit topologisch definierten
Kohomologiegruppen wurde von de Rham [?] gezeigt.
Die Integration von n-Formen liefert eine lineare Abbildung
∫
∫
(7.3)
: Ω n c (M) → R, α ↦→ α.
M