Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

96 6 Bündel T. tom Dieck
glatte Mannigfaltigkeit und q eine Submersion. Durch das Differential von q wird
die Orientierungsüberlagerung von X in diejenige von B abgebildet. Deshalb ist
in diesem Fall Q: E → X isomorph zur Orientierungsüberlagerung von X. Da Q
trivial ist, ist X orientierbar.
Sei q: X → B eine triviale zweifache Überlagerung. Die Gruppe Γ operiere
auf X und B durch Automorphismen von q, und zwar lokal trivial auf B. Dann
ist q/Γ: X/Γ → B/Γ eine zweifache Überlagerung. Sie ist genau dann trivial,
wenn die Operation von Γ die Blätter nicht vertauscht. Ist ξ: E → B ein Γ-
Vektorraumbündel mit freier, lokal trivialer Γ-Operation auf B, so induziert die
Bündelabbildung E → E/Γ einen Morphismus von Or(ξ) nach Or(ξ/Γ) und
Or(ξ)/Γ ist isomorph zu Or(ξ/Γ). Ist ξ orientierbar, so ist folglich ξ/Γ genau dann
orientierbar, wenn Γ orientierungstreu auf ξ operiert. Wir heben dieses Ergebnis
für Mannigfaltigkeiten hervor. Im folgenden Satz benutzen wir zusätzlich den
Isomorphismus (T M)/Γ ∼ = T (M/Γ).
(5.13) Satz. Die diskrete Gruppe Γ operiere frei, eigentlich und glatt auf der
orientierbaren Mannigfaltigkeit M. Dann ist M/Γ genau dann orientierbar, wenn
Γ orientierungstreu operiert.
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Insbesondere sehen wir, daß RP n genau dann orientierbar ist, wenn n ungerade
ist. Die antipodische Involution auf T S n wird nämlich nach Addition des
trivialen Z/2-Bündels S n × R → S n wie im Beweis von (11.3) in das Bündel
S n × R n+1 → S n mit Involution (x, y) ↦→ (−x, −v) überführt. Also ist die antipodische
Involution auf S n und R n+1 gleichzeitig orientierungstreu.
Um Orbitmannigfaltigkeiten nach positiv-dimensionalen Lieschen Gruppen G
zu untersuchen, gehen wir von der Gleichung
T (M/G) ⊕ M × G L(G) ∼ = (T M)/G
des Satzes (11.5) aus. Operiert G orientierungstreu auf M, ist also (T M)/G
orientierbar, so ist M/G genau dann orientierbar, wenn M × G L(G) orientierbar
ist (siehe dazu Aufgabe 1).
Die Frage nach der Orientierbarkeit läß t sich auch auf der Ebene der klassifizierenden
Räume behandeln.
Ein numerierbares n-dimensionales reelles Vektorraumbündel ξ: E → B ist zu
einem O(n)-Prinzipalbündel assoziiert und durch eine klassifizierende Abbildung
f: B → BO(n) bestimmt. Eine Orientierung von ξ ist durch die Wahl eines
SO(n)-Prinzipalbündels gegeben, zu dem ξ assoziiert ist. Das Prinzipalbündel
wird aus den Kartenwechseln orientierungstreuer Bündelkarten wie in Abschnitt
VI.3 konstruiert. Sei
p: BSO(n) → BO(n)
die kanonische Abbildung, die zu der Inklusion SO(n) → O(n) gehört. Sie läß
t sich als die Orbitabbildung EO(n)/SO(n) → EO(n)/O(n) gewinnen und
ist ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe O(n)/SO(n) ∼ = Z/2, eine zweifache
Überlagerung, nämlich die Orientierungsüberlagerung des universellen n-
dimensionalen Vektorraumbündels über BO(n). Die Orientierungsüberlagerung