Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

136 8 Weiteres T. tom Dieck
Die Bezeichnung bedeutet, daß die in den Klammern stehende orientierte Untermannigfaltigkeit
die Homologieklasse repräsentiert. Es gibt zwischen diesen
Elementen noch eine Relation
r∑
y i = 0,
i=1
weil ∐ i S i orientierter Rand von N ist. Die Abbildung α hat bezüglich dieser
Basen die Gestalt:
u i ↦→ (a i y i + cy, e i ) v i ↦→ (b i y i + d i y, 0).
Eine kleine Diagrammjagd zeigt: Kern und Kokern von α sind isomorph zum
Kern und Kokern von
v i ↦→ b i y i + d i y.
Um die Relation zwischen den y j zu berücksichtigen, führen wir ein weiteres
Basiselement v 0 ein, das auf y 1 + · · · + y r abgebildet wird. Bezüglich der Basen
(v 0 , . . . , v r ) und (y 1 , . . . , y r , y) hat die fragliche Abbildung die Matrix
⎛
⎞
1 b 1 0 . . . 0
1 0 b 2 . . . 0
.
⎜
. . . .. .
.
⎟
⎝ 1 0 0 . . . b r
⎠
0 d 1 d 2 . . . d r
Setzen wir ˆb i = ∏ j≠i b j, so berechnet man die Determinante durch Induktion
nach r zu
r∑
(2.1) k = (−1) r d iˆbi .
Wir erhalten damit das Resultat des nächsten Satzes. Man beachte dazu, daß
wegen Poincaré-Dualität und universeller Koeffizientenformel H 2 (M) = 0 ist,
wenn H 1 (M) endlich ist.
(2.2) Satz. Genau dann ist M eine Q-Homologiesphäre, wenn ∑ r
i=1 d iˆb i ≠ 0
ist. Die Ordnung von H 1 (M; Z) ist in diesem Fall gleich |k| in (??.1). Genau
dann ist M eine Homologiesphäre, wenn k = ±1 ist.
✷
Wir erinnern daran, daß die Seifert-Invarianten dieser Konstruktion durch
(0, e; (−b 1 , a 1 ), . . . , (−b m , a m )) gegeben sind. Hierbei dürfen einige der b i = −1
sein, liefern also reguläre Orbits. Deshalb sollten die b i < 0 gewählt werden. Die
Euler-Zahl ist
r∑ d i
e = .
b i
i=1
Durch diese Daten ist M bestimmt, also auch H 1 (M; Z). Die Ordnung dieser
Gruppe ist |k| mit k = e ∏ i (−b i).
i=1