Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Graßmannsche Mannigfaltigkeiten 11
Arbeiten wir mit einer Basis B = {f 1 , . . . , f r , k 1 , . . . , k n−r }, so ist die Übergangsmatrix
von B nach B von der Form
( ) R 0
, R ∈ GL(r, R).
S I n−r
Damit errechnet sich
ϕ B ϕ −1
B (P ) = (S + P )R−1 ,
das heißt, es handelt sich um eine affine Bijektion von M(n − r, r). Insgesamt sehen
wir, daß alle Karten der Form ϕ B rational und insbesondere glatt verbunden
sind.
Es gibt genau eine Topologie auf G r (E), bezüglich der die U(K) offen und
die ϕ B Homöomorphismen sind. Diese Topologie wollen wir jetzt noch anders
beschreiben. Sei dazu
S r (E) = {(x 1 , . . . , x r ) | x i linear unabhängig} ⊂ E r .
Wegen des Determinantenkriteriums für die lineare Unabhängigkeit und der Stetigkeit
der Determinante gilt: S r (E) ist eine offene Teilmenge von E r und damit
eine glatte Mannigfaltigkeit. Sie heißt Stiefel-Mannigfaltigkeit der r-Beine in E.
Wir haben eine Surjektion p: S r (E) → G r (E), (x 1 , . . . , x r ) ↦→ 〈 x 1 , . . . , x r 〉.
(3.1) Lemma. Bezüglich der Quotienttopologie von p sind die Kartenbereiche
U(K) offen und die ϕ B Homöomorphismen.
Beweis. Die Menge p −1 U(K) besteht aus den r-Tupeln (x 1 , . . . , x r ), so daß
(x 1 , . . . , x r , k 1 , . . . , k n−r ) eine Basis von E ist. Nach dem Determinantenkriterium
ist das eine offene Menge in S r (E). Die Komposition
( ) Q
ϕ B ◦ p: p −1 U(K) → U(K) → M(n − r, r), ↦→ P Q −1
P
ist stetig und damit auch ϕ B stetig. Durch P ↦→ ( I r
)
P wird eine stetige Umkehrung
gegeben.
✷
(3.2) Satz. G r (E) ist eine kompakte glatte r(n − r)-Mannigfaltigkeit.
Beweis. Wir müssen nur noch die topologischen Eigenschaften nachweisen. Da
S r (E) eine abzählbare Basis hat, so auch jeder Quotientraum. Wir versehen E
mit einem Skalarprodukt 〈 −, − 〉. Die Menge
V r (E) = {(x j ) ∈ G r (E) | (x j ) orthonormiert}
ist eine kompakte Teilmenge von E r . Also ist G r (E) als stetiges Bild pV r (E) eines
kompakten Raumes selbst kompakt. Sind X 1 und X 2 aus G r (E), so gibt es immer
ein gemeinsames Komplement K. Dann liegen die X i in dem hausdorffschen
Kartenbereich U(K) und haben disjunkte Umgebungen.
✷
Eine analoge Konstruktion mit komplexen Vektorräumen E liefert die kompakte
komplex Mannigfaltigkeit G r (E) der r-dimensionalen komplexen Unterräume
von E. Sie hat als glatte Mannigfaltigkeit die Dimension 2r(n − r).