Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Verheftungen 143
Der auf diese Weise hergestellte Übergang von X nach X ′ wird elementare Chirurgie
vom Index k an X vermöge h genannt. Als Chirurgie an X bezeichnet man
eine mehrmals angewendete elementare Chirurgie. Die Methode der Chirurgie
ist äußerst flexibel und wirkungsvoll, um Mannigfaltigkeiten mit vorgegebenen
topologischen Eigenschaften zu konstruieren.
In der Flächentheorie bezeichnet man die elementare Chirurgie vom Index 1
auch als Ansetzen eines Henkels an die Fläche.
✸
(3.7) Dehn-Chirurgie. Eine auf Dehn [?] zurückgehende Methode zur Konstruktion
dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten besteht darin, einen Volltorus
herauszubohren und ihn auf neue Art wieder einzusetzen. Sei t: D 2 ×S 1 → M eine
glatte Einbettung in eine 3-Mannigfaltigkeit mit dem Bild U = t(E 2 × S 1 ). Man
hefte S 1 × D 2 an M \ U an, indem (z, w) ∈ S 1 × S 1 ⊂ S 1 × D 2 mit t(z a w b , z c w d )
identifiziert wird. Hierbei sei ad − bc = 1 vorausgesetzt; dann ist die Verheftungsabbildung
ein Diffeomorphismus. Das Resultat der Verheftung sei M ′ . Bei
gegebenem t bezeichnen wir den Übergang von M nach M ′ als Dehn-Chirurgie
mittels ( )
a b
c d oder als −
b
-Dehn-Chirurgie. Im Falle d = 0 ist unter b das Symbol
d d
∞ zu verstehen.
Ist M orientiert, so sei t als orientierungstreu vorausgesetzt. Es trage S 1 und
D 2 die Standard-Orientierung und S 1 × S 1 in der obigen Konstruktion jeweils
die Rand-Orientierung von S 1 × D 2 oder D 2 × S 1 .
Ist M = S 3 , so soll man sich das Bild von t als eine Verdickung des Knotens
t(0 × S 1 ) vorstellen. Es läßt sich Dehn-Chirurgie simultan an mehreren solchen
disjunkten Einbettungen durchführen. Die verwendeten Knoten können dann
noch miteinander verschlungen sein. Jede orientierbare 3-Mannigfaltigkeit läßt
sich auf diese Weise aus S 3 durch Dehn-Chirurgie erzeugen ([?] [?]). Natürlich
gibt es sehr viele verschiedene Prozesse, die zu derselben 3-Mannigfaltigkeit
führen. Trotzdem kann diese Methode zu einem effektiven Werkzeug ausgebaut
werden, wie Kirby [?] gezeigt hat, weshalb man auch vom Kirby-Kalkül spricht.
(3.8) Beispiel. Für die Teilmengen
D 1 = {(x, y) | ‖x‖ 2 ≥ 1/2, ‖y‖ 2 ≤ 1/2}, D 2 = {(x, y) | ‖x‖ 2 ≤ 1/2, ‖y‖ 2 ≥ 1/2}
von S m+n+1 ⊂ R m+1 × R n+1 gibt es Diffeomorphismen D 1
∼ = S m × D n+1 , D 2
∼ =
D m+1 ×S n . Die Unterräume D i sind glatte Untermannigfaltigkeiten mit Rand von
S m+n+1 . Deshalb läßt sich S m+n+1 also aus S m × D n+1 und D m+1 × S n erhalten,
indem entlang des gemeinsamen Randes S m ×S n mit der Identität verheftet wird.
Ein Diffeomorphismus D 1 → S m × D n+1 wird durch (z, w) ↦→ (‖z‖ −1 z, √ 2w)
gegeben.
✸
(3.9) Beispiel. Ist M eine Mannigfaltigkeit mit nichtleerem Rand, so kann man
zwei Exemplare des Randes durch die Identität des Randes verheften: Es entsteht
das Doppel D(M) von M. Hat man nach dem Whitneyschen Einbettungssatz
D(M) eingebettet, so auch M. Ist M kompakt, so ist D(M) selbst Rand einer
Mannigfaltigkeit B. Topologisch läßt sich B durch M × I angeben. Eine andere
Vorstellung von B: Man lasse M um ∂M um 180 ◦ rotieren.
✸