Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

8 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis. Wir geben einen Atlas mit zwei Karten
an. Sei e n = (0, . . . , 0, 1). Wir definieren die stereographische Projektion
ϕ N : U N = S n \ {e n } → R n dadurch, daß ϕ N (x) als Schnitt der Geraden durch
e n und x mit der zu e n orthogonalen Hyperebene R n = R n × 0 definiert wird.
Man errechnet ϕ N (x 0 , . . . , x n ) = 1
1−x n
(x 0 , . . . , x n−1 ). Eine stetige Umkehrung ist
π N : x ↦→ 1 (2x, ‖x‖ 2 −1). Also ist (U
1+‖x‖ 2 N , ϕ N ) eine Karte von S n . Analog haben
wir eine stereographische Projektion ϕ S : U S = S n \ {−e n } → R n . Der Kartenwechsel
ist ϕ S ◦ ϕ −1
N (y) = ‖y‖−2 y und damit reell-analytisch. Das Differential des
Kartenwechsels an der Stelle x ist ξ ↦→ (‖x‖ 2 ξ −2〈 x, ξ 〉x)·‖x‖ −4 . Ist ‖x‖ = 1, so
ergibt sich die Spiegelung ξ ↦→ ξ − 2〈 x, ξ 〉x. Daraus sieht man, daß die Jacobi-
Matrix negative Determinante hat: Der Atlas aus diesen beiden Karten ist nicht
orientierend.
Die projektiven Räume sind Mannigfaltigkeiten von grundsätzlicher Bedeutung.
Sie treten ihrem Wesen nach nicht als Teilmengen euklidischer Räume auf
und sind deshalb ein guter Grund, den Begriff einer Mannigfaltigkeit abstrakt
zu fassen.
Ist V ein (n + 1)-dimensionaler reeller Vektorraum, so ist der zugehörige projektive
Raum P (V ) die Menge der eindimensionalen Unterräume von V . Zwei
Vektoren x, y ∈ V \ {0} spannen genau dann denselben Unterraum auf, wenn
es ein λ ∈ R ∗ = R \ {0} gibt, so daß λx = y ist. Wir können deshalb P (V )
als die Menge der Äquivalenzklassen von V \ {0} bezüglich der Äquivalenzrelation
x ∼ y ⇔ ∃ λ ∈ R ∗ mit λx = y auffassen. Die Äquivalenzklasse von
x = (x 0 , . . . , x n ) ∈ R n+1 \ {0} wird mit [x] = [x 0 , . . . , x n ] bezeichnet (homogene
Koordinaten von [x]). Wir geben P (V ) die Quotienttopologie bezüglich
p: V \ {0} → P (V ), x ↦→ [x]. Dadurch wird P (V ) ein Hausdorff-Raum mit
abzählbarer Basis. Statt P (R n+1 ) schreiben wir auch RP n . Wir nennen RP n
den n-dimensionalen reellen projektiven Raum.
Wir definieren Karten für P (R n+1 ). Sei U i = {[x 0 , . . . , x n ] | x i ≠ 0}. Nach
Definition der Quotienttopologie ist U i in P (R n+1 ) offen. Durch
ϕ i : U i → R n ,
[x 0 , . . . , x n ] ↦→ x −1
i (x 0 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x n )
wird ein Homöomorphismus mit der Umkehrung
ψ i : R n → U i , (a 1 , . . . , a n ) ↦→ [a 1 , . . . , a i−1 , 1, a i , . . . , a n ]
definiert. Je zwei dieser Karten sind glatt verbunden. Die Abbildung ψ i ist als
Verkettung stetiger Abbildungen stetig. Um ϕ i als stetig zu erkennen, benutzen
wir, daß auch die Einschränkung p: p −1 (U i ) → U i eine Identifizierung ist, und
wenden die universelle Eigenschaft der Quotienttopologie an.
Auf dieselbe Weise wird der projektiven Raum P (V ) eines komplexen Vektorraumes
V definiert. Er entsteht aus V \ {0} durch die Äquivalenzrelation wie
oben, nur daß jetzt λ ∈ C ∗ = C\{0} ist. Die Karten von P (C n+1 ) = CP n werden
wieder durch dieselben Formeln definiert; sie sind holomorph verbunden.
Die Quotientabbildung R n+1 \ {0} → P (R n+1 ) bildet die Einheitssphäre S n
surjektiv ab. Deshalb sind die projektiven Räume kompakt. Wir können somit