Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 11 Partition der Eins 29
Form U j . Davon wählen wir endlich viele, so daß die Urbilder ϕ −1
x (U 1 (0)) das
kompakte K i überdecken. Insgesamt bilden die so für jedes i gewählten Karten
eine abzählbare Familie mit den genannten Eigenschaften. (Im Falle einer
kompakten Mannigfaltigkeit braucht man natürlich nur endlich viele Karten.)✷
(11.3) Satz. Jede offene Überdeckung (U j | j ∈ J) einer glatten Mannigfaltigkeit
ist numerierbar durch eine abzählbare glatte Partition der Eins aus Funktionen
mit kompaktem Träger. Mannigfaltigkeiten sind parakompakt.
Beweis. Die Funktion λ: R → R, λ(t) = 0 für t ≤ 0, λ(t) = exp(−t −1 ) für
t > 0, ist glatt. Für ε > 0 ist ϕ ε (t) = λ(t)(λ(t) + λ(ε − t)) −1 ebenfalls glatt,
und es gilt 0 ≤ ϕ ε ≤ 1, ϕ ε (t) = 0 ⇔ t ≤ 0, ϕ ε (t) = 1 ⇔ t ≥ ε. Durch
ψ: R n → R, x ↦→ ϕ ε (‖x‖ − r) schließlich wird eine glatte Abbildung definiert, die
0 ≤ ψ(x) ≤ 1, ψ(x) = 1 ⇔ ‖x‖ ≤ r, ψ(x) = 0 ⇔ ‖x‖ ≥ r + ε erfüllt.
Wir wählen einen Atlas nach (11.2), verwenden die Funktionen ψ für r = 1
und ε = 1 und definieren ψ i durch ψ ◦ h i auf V i und als Null auf dem Komplement.
Dann bilden die σ k = s −1 ψ k mit s = ∑ ∞
m=1 ψ m eine glatte, lokal endliche
Partition der Eins, die (U j | j ∈ J) untergeordnet ist. Die beteiligten Funktionen
haben kompakten Träger.
✷
(11.4) Notiz. Seien C 0 und C 1 abgeschlossene disjunkte Mengen der glatten
Manigfaltigkeit M. Dann gibt es eine glatte Funktion ϕ: M → [0, 1], die auf C j
nur den Wert j annimmt.
Beweis. Wir wenden den vorigen Satz auf die Überdeckung durch die U j =
M \ C j an.
✷
(11.5) Notiz. Sei A abgeschlossen in der glatten Mannigfaltigkeit M und U
eine offene Umgebung von A in M. Sei f: U → [0, 1] glatt. Dann gibt es eine
glatte Abbildung F : M → [0, 1], die auf A mit f übereinstimmt.
Beweis. Sei (ϕ 0 , ϕ 1 ) eine Partition der Eins, die (U, M \ A) untergeordnet ist.
Wir setzen F (x) = ϕ 0 (x)f(x) für x ∈ U und F (x) = 0 sonst.
✷
(11.6) Satz. Es gibt eine glatte eigentliche Abbildung f: M → R.
Beweis. Eine Abbildung heißt hier eigentlich, wenn das Urbild einer kompakten
Menge kompakt ist. Wir wählen eine abzählbare Partition der Eins (τ k | k ∈ N)
mit kompakten Trägern der τ k . Damit setzen wir f = ∑ ∞
k=1 k · τ k: M → R.
Ist x ∉ ⋃ n
j=1 Tr(τ j), so ist 1 = ∑ j≥1 τ j(x) = ∑ j>n τ j(x) und deshalb f(x) =
∑j>n jτ j(x) > n. Also ist f −1 [−n, n] in ⋃ n
j=1 Tr(τ j) enthalten und folglich
kompakt.
✷
Wir geben nun eine typische Anwendung der Partitionen der Eins, die alsbald
auch in allgemeinerer Form für Mannigfaltigkeiten bewiesen wird.
(11.7) Satz. Sei A ⊂ U 0 ⊂ U ⊂ R n mit offenen Mengen U 0 und U und einer
in U abgeschlossenen Menge A. Sei f: U → W eine stetige Abbildung in eine
offene Menge W ⊂ R k , deren Einschränkung auf U 0 glatt ist. Zu jeder stetigen
Funktion ε: U → ]0, ∞[ gibt es eine glatte Abbildung g: U → W , so daß