Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

58 4 Isotopien T. tom Dieck
die Identität. Deshalb kann k t zu einer Isotopie k t von M mit k 0 = id erweitert
werden. Analog gibt es eine Diffeotopie l t von M \{y 1 , . . . , y n−1 , z 1 , . . . , z n−1 } mit
l 0 = id, l 1 (y n ) = z n , die in einer Umgebung von y i und z i für i < n die Identität
ist. Die Diffeotopie l t ◦ k t leistet das Gewünschte.
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Wir werden im folgenden Diffeotopien durch Integration geeigneter Vektorfelder
erhalten. Dazu ist es zweckmäßig, Isotopien als ”
Film“ zu betrachten. Sei
h: M × R → N eine glatte Abbildung. Der Film von h ist die glatte Abbildung
h # : M × R → N × R,
(x, t) ↦→ (h t (x), t).
Da h # (M × t) ⊂ N × t ist, nennen wir h # höhenerhaltend. Ist h eine Isotopie, so
ist h # jedenfalls eine höhenerhaltende injektive Immersion. Wir nennen h strikt,
wenn h # sogar eine Einbettung ist.
(1.4) Beispiel. Sei D: N × R → N eine Diffeotopie. Dann ist der Film D #
ein Diffeomorphismus (da jedenfalls eine bijektive Immersion). Ist umgekehrt ein
höhenerhaltender Diffeomorphismus dieses Typs gegeben und ist D 0 = id(N), so
ist pr 1 ◦D # = D eine Diffeotopie von N.
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(1.5) Notiz. Eine Isotopie h: M × R → N, die außerhalb einer kompakten
Menge K von M konstant ist, ist strikt.
Beweis. Da h # eine injektive Immersion ist, genügt es zu zeigen, daß h # eine
topologische Einbettung ist.
Sei U ⊂ M offen und relativ kompakt und h t außerhalb von U konstant.
Dann ist h 0 |M \U ein Homöomorphismus auf eine abgeschlossene Teilmenge von
h 0 (M), also auch h 0 ×id = h # : (M \U)×[0, 1] → N ×[0, 1] ein Homöomorphismus
auf eine abgeschlossene Teilmenge von h # (M × [0, 1]). Wegen Injektivität und
Kompaktheit ist auch h # : U × [0, 1] → N × [0, 1] ein Homöomorphismus auf eine
abgeschlossene Teilmenge. Insgesamt ist demnach h # ein Homöomorphismus auf
eine abgeschlossene Teilmenge von Bild h # .
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Ein Vektorfeld X auf M × R können wir in seine beiden Komponenten
bezüglich der direkten Zerlegung T (x,t) (M × R) = T x M × T t R zerspalten. Wir
erhalten dann aus X zwei Vektorfelder auf M ×R, die wir in naheliegender Weise
als die M- und die R-Komponente von X bezeichnen. (Analog für beliebige Produkte
M 1 × M 2 .) Insbesondere haben wir auf M × R das konstante Vektorfeld,
dessen M-Komponente Null ist und dessen R-Komponente ∂ ∂t .
(1.6) Notiz. Sei Z ein glattes Vektorfeld auf N × R, dessen R-Komponente
gleich ∂ ∂t ist.
(1) Sei Z global integrierbar. Dann gilt für den zugehörigen Fluß Φ
Φ t (N × {s}) ⊂ N × {s + t},
s, t ∈ R
und
D: N × R → N, (x, t) ↦→ pr 1 ◦Φ t (x, 0) = D t (x)