Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Quotienten 65
(iv) Sei h: U 0 × U 0 → R n−m × R m , (z, z ′ ) ↦→ (f(z, z ′ ), g(z ′ )). Die partielle Abbildung
F = h(x, ?): z ′ ↦→ h(x, z ′ ) hat im Punkt x nach (iii) ein bijektives Differential.
Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es offene Umgebungen W
und W ′ von x in U 0 und eine glatte Abbildung u: W → W ′ , so daß
{(z, z ′ ) ∈ W × W ′ | f(z, z ′ ) = 0, g(z ′ ) = 0} = {(z, u(z)) | z ∈ W }
ist. Nach Wahl von g und U 0 in (iii) ist B = g −1 (0) ⊂ U 0 eine Untermannigfaltigkeit,
und u ist nach Konstruktion eine Abbildung u: W → W ′ ∩ B, die in
der Klasse von z eine Punkt u(z) ∈ B liefert. (Nach (iii) schneiden sich B und
die Klasse von x im Punkt x transvers. Wir haben im wesentlichen u gefunden,
müssen aber noch Definitions- und Bildbereich mengentheoretisch geeignet arrangieren.)
(v) Wir zeigen: Das Differential T x u: T x W → T x (W ′ ∩ B) ist surjektiv. Denn
zunächst einmal gilt wegen h(z, u(z)) = 0 die Relation
T x u = −T x h(x, ?) −1 ◦ T x h(?, x).
Da h(?, x) bis auf eine Nullkomponente gleich f r ist, so ist der Rang von T x h(?, x)
gleich dem Rang von T x f r , also gleich n − m, und das ist auch die Dimension
von T x (W ′ ∩ B) und der Rang von T x u.
(vi) Durch Verkleinerung von W wird (iv) nicht gestört. Wir wählen daher W
so klein, daß u: W → W ′ ∩ B konstanten Rang hat. Sei T = u(W ) und z ∈
T ∩ W ⊂ W ′ ∩ B = u(W ) ∩ W ⊂ u(W ) ⊂ W ′ . Dann gilt (z, z) ∈ W × W ′ und
deshalb u(z) = z. Sei U = u −1 (T ∩ W ) und S = U ∩ T . Wir zeigen: u(U) ⊂ S.
Sei nämlich z ∈ U. Dann gilt zunächst
u(z) ∈ u(U) = u(u −1 (T ∩ W )) ⊂ T ∩ W
und nach dem schon Gezeigten also u(u(z)) = u(z) ∈ T ∩ W , das heißt u(z) ∈
u −1 (T ∩W ) = U; ferner gilt u(z) ∈ T ∩W und deshalb insgesamt u(z) ∈ U ∩T =
S.
Wir haben damit eine offene Umgebung U von x in M gefunden und eine
submersive Retraktion u: U → S auf eine Untermannigfaltigkeit S von U, so daß
C ∩ (U × S) = {(z, u(z)) | z ∈ U}.
(vii) Sei (z 1 , z 2 ) ∈ C ∩ (U × U). Dann ist (z 1 , u(z 1 )) ∈ C und (z 2 , u(z 2 )) ∈ C. Da
C eine Äquivalenzrelation ist, so folgt (u(z 1 ), u(z 2 )) ∈ C ∩ (S × S) und demnach
u(z 1 ) = u(z 2 ). Damit sehen wir C ∩(U ×U) = {(z 1 , z 2 ) ∈ U ×U | u(z 1 ) = u(z 2 )}.
Somit ist (A) nachgewiesen und der Beweis des Satzes beendet.
✷
In Schritt (i) – (vi) wurde nur benutzt, daß C eine Untermannigfaltigkeit ist,
die die Diagonale enthält.
Setzt man in (7.1.2) C nicht als abgeschlossen voraus, so kann man immer
noch glatt verbundene Karten konstruieren. Es wird dann N lokal euklidisch,
glatt, mit abzählbarer Basis; um die Hausdorff-Eigenschaft sicherzustellen, muß
C noch abgeschlossen sein.