Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

12 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
4 Zum Begriff der Mannigfaltigkeit
Die folgenden beiden Sätze zeigen, warum die Ordnung der Differenzierbarkeit
meist vernachlässigt werden kann.
(4.1) Satz. Jede C r -Struktur auf einer Mannigfaltigkeit enthält eine reell analytische
Struktur (1 ≤ r ≤ ∞).
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(4.2) Satz. Sei 1 ≤ r < p ≤ ω. Sind zwei Mannigfaltigkeiten C r -diffeomorph,
so auch C p -diffeomorph.
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Beide Sätze wurden von Whitney [147] bewiesen, wobei im Satz (1.??) für
den Fall p = ω vorausgesetzt wurde, daß es sich um C ω -Untermannigfaltigkeiten
eines euklidischen Raumes handelt. Um (1.??) in voller Allgemeinheit zu erhalten,
muß noch ein Satz von Grauert [52] über die Einbettbarkeit reell-analytischer
Mannigfaltigkeiten verwendet werden. In (1.??) braucht man nicht die abzählbare
Basis und die Separiertheit [90]. Für Beweise siehe auch [107] und [65]. Es gibt
topologische Mannigfaltigkeiten ohne differenzierbare Struktur [80].
Riemann hat in seinen Beiträgen zur Funktionentheorie den Standpunkt vertreten,
daß zunächst die grundlegenden topologisch-geometrischen Eigenschaften
der Flächen herausgearbeitet werden müssen, damit deutlich wird, wie diese die
feineren funktionentheoretischen Phänomene beeinflussen [120] [121] [122, p. 9–
12, 85–89].
Die Definition der Mannigfaltigkeit enthält eine Idee, die noch vielerlei andere
Ausprägungen zuläßt:
Gegeben sind lokale Modelle (hier: die euklidischen Räume und ihre offenen
Teilmengen). Die lokalen Modelle werden durch die spezifizierte Klasse von Kartenwechseln
verheftet (hier: C r -Diffeomorphismen; holomorphe Isomorphismen).
Das Resultat der Verheftung wird globales Objekt genannt. Überhaupt beziehen
sich lokale Betrachtungen auf Aussagen über (kleine) Umgebungen von Punkten
und globale auf die gesamte Mannigfaltigkeit. Bei Mannigfaltigkeiten mit
Rand werden Halbräume die lokalen Modelle sein. Für die Zwecke der globalen
Analysis werden unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten verwendet; die
lokalen Modelle sind Hilbert- oder Banachräume. In der algebraischen Geometrie
werden affine Varietäten zu allgemeineren verschmolzen. Bei den später zu
besprechenden Bündeln werden Produkte von Räumen die lokalen Modelle sein.
Mannigfaltigkeiten kommen indirekt in der Mathematik seit langem vor. In
seinem berühmten Habilitationsvortrag vom 10. Juni 1854 hat Riemann deutlich
eine Theorie n-dimensionaler (und sogar unendlich-dimensionaler) Mannigfaltigkeiten
gewünscht, wie die folgenden Zitate andeuten [122, p. 255–277]:
. . . Je nachdem unter diesen Bestimmungsweisen von einer zu einer
andern ein stetiger Uebergang stattfindet oder nicht, bilden sie eine
stetige oder discrete Mannigfaltigkeit; die einzelnen Bestimmungsweisen
heissen im ersten Falle Punkte, im letztern Elemente dieser
Mannigfaltigkeiten. Begriffe, deren Bestimmungsweisen eine discrete