Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

86 6 Bündel T. tom Dieck
nach P (C n+1 ) × P (C n ) einbetten auf die Untermannigfaltigkeit, die durch die
Gleichungen
{[y 1 , . . . , y n+1 ], [x 1 , . . . , x n ] | x k i y j = x k j y i , 1 ≤ i, j ≤ n}
beschrieben wird. Es enthält das projektive Bündel H(−k) als die Teilmenge der
(x 1 , . . . , x n ), [u, 1] und H(k) als die Teilmenge der (x 1 , . . . , x n ), [1, v]. Damit wird
auch H(k) jedenfalls nach P (C n+1 ) × P (C n ) eingebettet.
4 Bestimmung von Tangentialbündeln
In diesem Abschnitt beschreiben wir, wie sich Tangentialbündel wichtiger Mannigfaltigkeiten
konstruieren lassen.
Zunächst betrachten wir Orbiträume glatter, freier, eigentlicher Operationen
G × M → M einer Lieschen Gruppe G auf der Mannigfaltigkeit M. Nach I.5 hat
M/G genau eine differenzierbare Struktur, so daß die Orbitabbildung p: M →
M/G eine Submersion ist.
Ist M irgendeine glatte G-Mannigfaltigkeit, so erhält man über das Differential
der Linkstranslationen eine Operation auf dem Tangentialbündel
G × T M → T M, (g, v) ↦→ (T l g )v.
Diese Operation ist glatt und die Bündelprojektion äquivariant. Mit dieser Operation
wird T M → M ein glattes G-Vektorraumbündel; darunter verstehen wir
allgemein ein glattes Vektorraumbündel ξ: E → M mit differenzierbaren Operationen
von G auf E und M, so daß ξ äquivariant ist und jede Linkstranslation
l g : E → E Fasern linear in Fasern abbildet.
(4.1) Satz. Sei ξ: E → M ein glattes G-Vektorraumbündel. Die Operation
von G auf M sei frei und eigentlich. Dann ist die Abbildung der Orbiträume
ξ/G: E/G → M/G ein glattes Vektorraumbündel.
Beweis. Die Operation auf E ist frei. Hat M die Form G × U mit der Linksoperation
von G auf dem Faktor U und ist ξ 0 : E 0 → U die Einschränkung des
Bündels ξ auf {e} × U, so ist id ×ξ 0 : G × E 0 → G × U ein G-Vektorraumbündel
und G × E 0 → E, (g, x) ↦→ gx ein Bündelisomorphismus. Folglich ist in diesem
Fall E/G → M/G diffeomorph zu E 0 → U, also ein Vektorraumbündel. Im allgemeinen
Fall wird M von offenen G-Mengen überdeckt, die G-diffeomorph zu
Mengen der Form G × U sind. Es folgt, daß ξ/G lokal trivial ist.
✷
Die Orbitabbildung von Basis und Totalraum liefern ist eine Bündelabbildung
ξ → ξ/G. Wir kehren zum Tangentialbündel zurück. Das Differential von p ist ein
Morphismus T p: T M → T (M/G), der über die Orbitabbildung T M → (T M)/G
faktorisiert und einen Morphismus q: (T M)/G → T (M/G) über M/G induziert.
In jedem Fall ist q fasernweise surjektiv. Ist G diskret, so haben M und M/G
dieselbe Dimension. Deshalb ist q ein Isomorphismus.