Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

94 6 Bündel T. tom Dieck
Ist ν ∈ T a M ein bezüglich A nach außen weisender Vektor, so auch bezüglich
M. Sei ν, v 2 , . . . , v m die Urbild-Orientierung von A = F −1 (B), wobei v i aus T a ∂A
gewählt sind. Sei w 1 , . . . , w k aus N a ⊂ T a ∂M eine Basis des Komplements N a von
T a ∂A in T a ∂M. Dann ist w 1 , . . . , w k auch eine Basis des Komplements von T a A in
T a M. Definitionsgemäß ist dann w 1 , . . . , w k , ν, v 2 , . . . , v m die Orientierung von M,
und deshalb liefert w 1 , . . . , w k , v 2 , . . . , v m das (−1) k -fache der Rand-Orientierung
o(∂M). Folglich liefert v 2 , . . . , v m das (−1) k -fache der Urbild-Orientierung von
(F |∂M) −1 (B). Dagegen ist v 2 , . . . , v m die Rand-Orientierung von ∂(F −1 (B)). ✷
Sei A nulldimensional und kompakt und durch ɛ: A → {±1} orientiert. Wir
setzen e(A) = ∑ a∈A ɛ(a).
(5.9) Satz. Sei B eine eindimensionale orientierte kompakte Mannigfaltigkeit.
Trägt ∂B die Rand-Orientierung, so gilt e(∂B) = 0.
Beweis. Eine Komponente von B mit nicht-leerem Rand ist diffeomorph zu
[0, 1], und für [0, 1] ist die Aussage wegen (5.6) klar. ✷
Seien A und B glatte Untermannigfaltigkeiten von M mit transversem Schnitt
und seien A, B und M orientiert. Dann ist auch A ∩ B orientierbar, und es gibt
verschiedene Möglichkeiten, eine Orientierung festzulegen. Sei c ∈ A ∩ B und
Dann ist
N c A ⊕ T c A = T c M = N c B ⊕ T c B.
N c A ⊕ N c B ⊕ T c (A ∩ B) = T c M.
Die Orientierungen von A, B und M legen Orientierungen von N c A und N c B
fest und die letzte Gleichung damit eine Orientierung o(A ∩ B; A, B) von A ∩ B.
Gehen wir ebenso von B, A aus, so ergibt sich
(5.10) o(A ∩ B; A, B) = (−1) (dM−dA)(dM−dB) o(B ∩ A; B, A)
mit der Abkürzung dA = dim(A). Ist A ∩ B nulldimensional, so erhält jeder
Schnittpunkt ein Vorzeichen, und wir nennen die Summe der Vorzeichen
s(A, B) = e(o(A ∩ B; A, B))
die Schnittzahl von (A, B) in M. Wegen (5.10) gilt dann
s(A, B) = (−1) dA·dB s(B, A).
Wegen (5.1) beschäftigen wir uns nun genauer mit Orientierungen von Vektorraumbündeln.
Schon in VI.1 haben wir Orientierungen von Bündeln definiert. Wir erinnern
daran. Eine Orientierung eines reellen n-dimensionalen Vektorraumbündels
ξ: E → B ist eine Familie von Orientierungen aller Fasern ξ b mit der folgenden
Eigenschaft: Es gibt um jeden Punkt eine (orientierungstreu genannte) Bündelkarte
ϕ: ξ −1 (U) → U ×R n , die die Orientierung von ξ b für b ∈ U in die Standard-
Orientierung des R n transportiert (n ≥ 1). Falls ξ eine Orientierung besitzt, heißt
ξ orientierbar.