Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Algebraische Topologie von Seifert-Faserungen 137
Wir bestimmen nun die Fundamentalgruppe der vorstehenden Seifert-
Faserungen mit dem Satz von Seifert und van Kampen.
(2.3) Satz. Sei M eine Seifert-Faserung mit Orbitraum S 2 und Invarianten
(0, e; (µ 1 , ν 1 ), . . . , (µ m , ν m )). Dann hat π 1 (M) die folgende Präsentation
∏ m
〈 s 1 , . . . , s m , f | [s i , f] = s µ i
1 f d i
= f E s i = 1 〉.
Darin wird f durch eine reguläre Faser der S 1 -Operation repräsentiert. Ferner
ist E = e + ∑ m d i
i=1 µ i
und ν i d i ≡ 1 mod µ i .
Beweis. Die Mannigfaltigkeit entstehe als Standardmodell durch die voranstehende
Konstruktion. Dabei seien (−b i , a i ) = (µ i , ν i ) für 1 ≤ i ≤ m gewählt und
(−b 0 , a 0 ) = (1, 0), sowie ganze Zahlen d i mit ν i d i ≡ a i d i ≡ 1 mod µ i und
i=1
0 = e +
m∑
i=0
d i
µ i
.
Dann führt man die Konstruktion mittels (−b 0 , a 0 ), . . . , (−b m , a m ) aus. Es entsteht
M aus einem Pushout-Diagram des folgenden Typs:
∐ m
i=0 S ∐ϕ
i × S 1
i
✲ C
❄
❄
∐ m
i=0 S i × D 2 ✲ M
mit C = (S 2 \ ⋃ i D◦ i ) × S 1 . Es ist
π 1 (C) = 〈 s 0 , . . . , s m , f |
m∏
s 1 = 1 = [s j , f] 〉.
i=0
Dabei werden die s i durch positiv orientierte Schleifen um den Rand S i , verbunden
mit einem Grundpunkt ∗, repräsentiert. Ferner wird f durch {∗} × S 1
repräsentiert. Seien u i und v i die durch S i × 1 und ∗ × S 1 in S i × S 1 gegebenen
Elemente. Diese haben den Grundpunkt (∗, 1). Vermöge der Anheftung von
S i × D 2 mittels
( )
ai c
ϕ i =
i
b i d i
wird die Relation s b i
i f d i
= 1 hinzugefügt, denn v i wird bei ϕ i auf ein zu s b i
i f d i
konjugiertes (durch Grundpunktverschiebung) Element abgebildet, und v i wird
in S i × D 2 nullhomotop. Insgesamt erhält man die Präsentation
〈 s 0 , . . . , s m , f |
m∏
i=0
s i = 1 = [s j , f] = s b j
j f d j
〉.