Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

54 3 Vektorfelder und Flüsse T. tom Dieck
Sei A ⊂ M eine glatte Untermannigfaltigkeit und q: E → A ein glattes Vektorraumbündel.
Sei τ: E → M eine Einbettung von E auf eine offene Teilmenge
U von M, die auf dem Nullschnitt die Inklusion ist. In diesem Fall bezeichnen
wir τ auch als Tubenabbildung. In det Tat ist E isomorph zum Normalenbündel.
Das Differential von τ liefert nämlich einen glatten Bündelisomorphismus
T τT E|A → T U|A, der die Unterbündel T A identisch abbildet und deshalb
einen Isomorphismus E → NA der Quotientbündel induziert.
(4.4) Normalenbündel des Nullschnitts. Sei q: E → A ein glattes Vektorraumbündel.Wir
haben die Inklusion des Nullschnittes i: A → E als glatte
Untermannigfaltigkeit. Deren Normalenbündel ist E, denn wir hatten ja eine direkte
Zerlegun T E|A = E ⊕ T A hergestellt und damit ein direktes Komplement
von T A gewonnen. Eine strenge Tubenabbildung ist in diesem Fall die Identität
von E.
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(4.5) Normalenbündel der Diagonale. Das Normalenbündel der Diagonale
M = D(M) ⊂ M × M einer glatten Mannigaltigkeit ist isomorph zum
Tangentialbündel T M. Denn T (x,x) D(M) ist die Diagonale von T x M × T x M =
T (x,x) (M × M), und das Bündel 0 ⊕ T M ist ein direktes Komplement des Diagonalbündels.
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