Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

102 7 Bordismus T. tom Dieck
M 0 × I + M 1 × I jeweils in M 0 × 1 und M 1 × 1 die Teile B × 1. Die resultierende
Mannigfaltigkeit L = (M 0 ×I)∪ B×1 (M 1 ×I) hat den Rand (M 0 +M 1 )+M. Eine
geeignete Abbildung F : L → X wird durch (f 0 , f 1 ) ◦ pr 1 : (M 0 + M 1 ) × I → X
induziert. Für die differenzierbare Struktur auf L siehe ??.
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Wir definieren nun relative Bordismengruppen N n (X, A) für Raumpaare
(X, A). Elemente von N n (X, A) werden durch Abbildungen f: (M, ∂M) →
(X, A) einer kompakten n-Mannigfaltigkeit M repräsentiert. Wir nennen wiederum
(M, ∂M; f) eine singuläre Mannigfaltigkeit in (X, A). Die Bordismenrelation
ist in diesem Fall etwas komplizierter. Ein Bordismus zwischen (M 0 , f 0 ) und
(M 1 , f 1 ) ist ein Paar (B, F ) mit den folgenden Eigenschaften:
(1) B ist eine kompakte (n + 1)-Mannigfaltigkeit mit Rand.
(2) ∂B ist Vereinigung dreier Untermannigfaltigkeiten mit Rand M 0 , M 1 und
M ′ , wobei ∂M ′ = ∂M 0 + ∂M 1 , M i ∩ M ′ = ∂M i .
(3) F |M i = f i .
(4) F (M ′ ) ⊂ A.
Wir nennen (M 0 , f 0 ) und (M 1 , f 1 ) bordant, wenn es einen Bordismus zwischen
ihnen gibt. Den Nachweis, daß eine Äquivalenzrelation vorliegt, führt man mit
Hilfe von (??). Die Summe wird wieder durch disjunkte Vereinigung induziert.
Jedes Element in N n (X, A) hat höchstens die Ordnung 2. Eine stetige Abbildung
f: (X, A) → (Y, B), das heißt f: X → Y mit f(A) ⊂ B, induziert einen Homomorphismus
N n (f) = f ∗ : N n (X, A) → N n (Y, B) wie im absoluten Fall durch
Nachschalten. Sind f 0 und f 1 als Abbildungen von Raumpaaren homotop, so gilt
N n (f 0 ) = N n (f 1 ). Die Zuordnung [M, f] ↦→ [∂M, f|∂M] induziert einen Homomorphismus
∂: N n (X, A) → N n−1 (A). Ist A = ∅, so ist N n (X, ∅) = N n (X).
(1.9) Seien i: A ⊂ X und j: X = (X, ∅) → (X, A) die Inklusionen. Dann ist die
folgende Sequenz exakt.
. . .
∂ ✲ Nn (A)
i ∗ ✲ Nn (X)
j ∗ ✲ Nn (X, A)
∂ ✲ . . .
. . . ✲ N 0 (A)
i ∗ ✲ N0 (X)
j ∗ ✲ N0 (X, A) ✲ 0
Zum Beweis benötigen wir:
(1.10) Lemma. Sei M eine geschlossene n-Mannigfaltigkeit und V ⊂ M eine
n-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Ist f: M → X eine Abbildung,
die M \ V nach A abbildet, so gilt [M, f] = [V, f|V ] in N n (X, A).
Beweis. Wir betrachten F : M × I → X, (x, t) ↦→ f(x). Dann ist ∂(M × I) =
M × ∂I und V × 1 ∪ M × 0 eine Untermannigfaltigkeit von ∂(M × I), deren
Komplement bei F nach A abgebildet wird. Die Definition der Bordismenrelation
liefert die Behauptung.
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Beweis von (1.9). (1) Exaktheit bei N n (A). Unmittelbar aus den Definitionen
folgt i ∗ ◦ ∂ = 0. Sei (B, F ) in X ein Nullbordismus von f: M → A. Dann gilt