Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 5 Der Satz vom Hauptorbit 73
Die Standgruppe von (u, v) ∈ G × H V ist die Menge der g ∈ G, so daß
für ein h ∈ H die Relation (gu, v) = uh, h −1 v besteht. Das bedeutet h ∈ H v
und g ∈ uH v u −1 . Eine Standgruppe von G × HV ist daher G-konjugiert zu
einer H-Standgruppe von V . Die H-Standgruppen von V sind aber H sowie die
Standgruppen von V .
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(5.2) Satz vom Hauptorbit. Sei M/G zusammenhängend. Dann gelten:
(1) Es gibt genau einen Isotropietyp (H) von M, so daß das Orbitbündel M (H)
in M offen und dicht ist.
(2) Der Raum M (H) /G ist zusammenhängend.
(3) Für jeden Isotropietyp (K) gilt (H) ≤ (K).
(4) M H schneidet jeden Orbit.
Der durch den voranstehenden Satz bestimmte Orbittyp (H) heißt Hauptorbit
von M und M (H) das zugehörige Hauptorbitbündel.
Beweis. Induktion nach dim M. Ist dim M = 0, so ist M/G als zusammenhängender
Raum ein Punkt, und M besteht aus einer einzigen Bahn. Für
diese gelten offenbar die Aussagen des Satzes.
Sei nun dim M ≥ 1. Wir betrachten zunächst eine Mannigfaltigkeit der Form
G× H V . Da (G× H SV )/G ∼ = SV/H ist, so ist im Falle eines unzusammenhängenden
Orbitraumes von G × H SV notwendig dim V = 1 und V die triviale H-
Darstellung. Dann ist aber G × H V ∼ = G/H × R und der Satz für diesen Raum
richtig.
Andernfalls ist also der Orbitraum von G× H SV zusammenhängend und nach
Induktionsvoraussetzung die Aussage des Satzes für diese Mannigfaltigkeit und
die H-Mannigfaltigkeit SV richtig. Sei K ⊂ H und (K) der Hauptorbit von SV .
Dann gilt entweder 0 ∈ V (K) , also H = K, oder V (K)
∼ = SV(K) × ]0, ∞[ .
Im ersten Fall ist SV (H) = SV H ; und weil SV (H) in SV dicht ist, so gilt
SV = SV H ; das heißt aber, die Darstellung V ist trivial. Für G× H V ∼ = G/H ×V
ist dann aber der Satz richtig.
Im zweiten Fall ist
(G × H V ) (K) = G × H V (K) ,
und weil V (K) offen und dicht in V \ 0 und V ist, so ist (G × H V ) (K) offen und
dicht in G × H V . Es ist
(G × H V ) (K) /G ∼ = V (K) /H ∼ = SV (K) × ]0, ∞[
zusammenhängend. Da zwei offene und dichte Mengen einen nichtleeren Schnitt
haben, so kann es höchstens einen Orbittyp (H) geben, für den die erste Aussage
des Satzes gilt. Also gelten die ersten beiden Aussagen für K statt H für M =
G × H V . Damit ist dieser Fall erledigt.
Wir überdecken nun M mit G-Mengen, die von der Form G × H V für gewisse
H und V sind. Haben zwei solche G-Mengen einen nichtleeren Schnitt,
so auch deren Hauptorbitbündel als offene und dichte Teilmengen, weshalb die
zugehörigen Orbittypen gleich sind. Da M/G zusammenhängend ist, so folgt,