Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

110 7 Bordismus T. tom Dieck
i # [α] = [ω]. Es gibt sicherlich eine Form γ ∈ Ω n c (U ∩ V ) mit I U∩V [γ] ≠ 0.
Für diese Form ist dann I U∩V [γ] = I U ◦ k # [γ] ≠ 0, also k # [γ] ≠ 0, da I U ein
Isomorphismus ist. Da Hc n (U) eindimensional ist, so ist also k # surjektiv. Sei
γ so gewählt, daß k # [γ] = [α] ist und [β] = l # [γ] gesetzt. Dann gilt wegen
i # k # = j # l # die Relation j # [β] = [ω]. Also haben i # und j # dasselbe Bild.
Wir wählen nun eine lokal endliche Überdeckung von M durch offene Mengen
(U j |j ∈ J), die zu R n diffeomorph sind. Es sei (τ j |j ∈ J) eine untergeordnete
glatte Partition der Eins. Ist ω ∈ Ω n c (M), so ist ω = Στ j ω im wesentlichen eine
endliche Summe, da ω kompakten Träger hat.
Unser Ziel ist es zu zeigen, daß Hc n (M) höchstens eindimensional ist. Da es
Formen ω mit I M [ω] ≠ 0 gibt, ist dann I M als Isomorphismus erkannt. Sei U 1
eine der Mengen U j . Wir wählen α ∈ Ω n c (U 1 ) mit I M [α] = I U1 [α] ≠ 0. Es genügt
zu zeigen: Zu jedem j ∈ J gibt es ein λ j ∈ R, so daß λ j [α] = [τ j ω] in Hc n (M) ist.
Dann ist
[ω] = Σ[τ j ω] = (Σλ j )[α]
und [ω] als Vielfaches des fest gewählten Elementes [α] erkannt.
Nun besagt aber der Zusammenhang von M, daß wir zu jedem j ∈ J eine
endliche Folge j 1 , . . . , j k ∈ J so auswählen können, daß
U 1 = U j1 , U ji ∩ U ji+1 ≠ ∅, U jn = U j
(i = 1, . . . , n − 1). Nach den Vorüberlegungen haben dann für ι(j): U j ⊂ M
die Abbildungen ι(j i ) # alle dasselbe Bild, woraus die Existenz einer Relation
λ j [α] = [τ j ω] folgt.
✷
4 Der Abbildungsgrad
Eine Abbildung f zwischen Mannigfaltigkeiten heiße eigentlich, wenn kompakte
Mengen kompakte Urbilder haben. Sei f: M → N eine eigentliche glatte Abbildung
zwischen orientierten n-Mannigfaltigkeiten. Das Zurückholen von Formen
induziert eine lineare Abbildung f ∗ : Hc n (N) → Hc n (M), [ω] ↦→ [f ∗ ω], weil das
Zurückholen mit der äußeren Ableitung vertauschbar ist. Ist N zusätzlich zusammenhängend,
so ist I M ◦ f ∗ ◦ I −1
N
: R → R die Multiplikation mit einer reellen
Zahl D(f), es gilt also die Gleichung
∫
∫
(4.1)
f ∗ ω = D(f) ω
M
für alle ω ∈ Ω n c (N). Tatsächlich ist D(f) eine ganze Zahl, wie (4.2) belegt. Wir
nennen D(f) den (analytischen) Grad der eigentlichen glatten Abbildung f.
Sei y ∈ N ein regulärer Wert von f. Nach dem Satz von Sard gibt es immer
reguläre Werte. Ist f(x) = y, so setzen wir d(f, x, y) = 1, wenn das Differential
T x f die Orientierung erhält, andernfalls sei d(f, x, y) = −1. Wir nennen diese
Zahl das Orientierungsverhalten von f bei x. Da f eigentlich ist, ist P = f −1 (y)
kompakt. Da y ein regulärer Wert ist, ist P diskret. Also ist P endlich und die
N