Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

118 7 Bordismus T. tom Dieck
ein geeignetes Vektorfeld. Sei umgekehrt v: S n → R n+1 ein stetiges Vektorfeld.
Dann ist
S n × I → S n v(x)
, (x, t) ↦→ cos(πt) · x + sin(πt) ·
|v(x)|
eine Homotopie von der identischen zur antipodischen Abbildung und deshalb n
ungerade.
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Als nächstes definieren wir die Umlaufzahl. Sei weiterhin M eine zusammenhängende
geschlossene orientierte n-Mannigfaltigkeit. Sei f: M → R n+1 stetig
und a /∈ Bildf. Die Umlaufzahl Um(f, a) von f bezüglich a wird als Grad der
Abbildung
p f,a = p a : M → S n : x ↦→ N(f(x) − a)
definiert, worin N die Normierungsabbildung R n+1 \ {0} → S n : x ↦→ ‖x‖ −1 x ist.
Ist f t eine Homotopie mit a /∈ Bildf t für alle t, so gilt Um(f t , a) = Um(f 0 , a).
(6.11) Beispiel. Die Abbildung f: S n → R n+1 \ 0, x ↦→ Ax hat für alle A ∈
GL(n+1, R) als Um(f, 0) das Vorzeichen von det A. Zum Beweis: Wegen I(3.10.1)
ist p f,0 homotop zu S n → S n , x ↦→ Bx für orthogonales B. Jetzt wende man (6.9)
an. In diesem Fall charakterisiert die Umlaufzahl die Homotopieklasse. ✸
(6.12) Satz. Sei M orientierter Rand der kompakten Mannigfaltigkeit B. Sei
F : B → R n+1 glatt und habe 0 als regulären Wert. Sei f = F |M und liege 0 nicht
im Bild von f. Dann ist
Um(f, 0) = ∑ x∈P
ɛ(F, x), P = F −1 (0),
wobei ɛ(F, x) ∈ {±1} das Orientierungsverhalten des Differentials T x F : T x B →
T 0 R n+1 bezeichent, das heißt ɛ(F, x) = 1 genau dann, wenn das Differential orientierungstreu
ist.
Beweis. Es seien D(x) ⊂ B \ ∂B, x ∈ P , kleine disjunkte Vollkugeln um x in
lokalen Koordinaten. Dann ist G(x) := NF (x) auf C := B \ ⋃ x∈P
D(x) definiert,
und es gilt nach (9.3) und (9.8.5) d(G|∂B) = ∑ x∈P
d(G|∂D(x)). Es genügt also,
d(G|∂D(x)) = ɛ(F, x) zu zeigen. Nach Einführen lokaler Koordinaten mittels
einer positiven Karte um x kann man annehmen, daß D(x) = D n+1 ⊂ R n+1
die Einheitszelle ist und F : D n+1 → R n+1 glatt mit F −1 (0) = {0} und 0 als
regulärem Wert. Durch
{ t
H(x, t) =
−1 F (tx) für t > 0
DF (0)(x) für t = 0
wird eine glatte Homotopie H: S n × I → R n+1 \ 0 definiert. Also ist
Um(F |S n , 0) = Um(DF (0)|S n , 0), und das ist nach (9.12) gleich dem Vorzeichen
von det DF (0).
✷
(6.13) Satz. Sei M der orientierte Rand der kompakten, orientierten, zusammenhängenden
Mannigfaltigkeit B. Habe f: M → Sn den Grad Null. Dann besitzt
f eine Erweiterung auf B.