Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

64 5 Transformationsgruppen T. tom Dieck
Es ist U0 ∗ = u(U 0 ) eine in u(p(U) ∩ p(V )) enthaltene offene Umgebung von u(x),
da u eine offene Abbildung ist. Also ist u(p(U) ∩ p(V )) offen in S. Wir zeigen,
daß v ◦u −1 glatt ist. Da u: U 0 → U0 ∗ eine Submersion ist, gibt es (nach eventueller
Verkleinerung von U 0 ) einen glatten Schnitt t: U0
∗ → U 0 dieser Abbildung, und
v ◦ u −1 |U0 ∗ = v ◦ s ◦ t ist glatt.
Damit haben wir die Verheftungseigenschaften (6.1) nachgewiesen, das heißt:
Es gibt genau eine Topologie auf N, in der die p(U) offen und die u: p(U) → S
Homöomorphismen sind. Nach Konstruktion ist p eine stetige, offene Abbildung.
Dann ist auch p × p offen, also (p × p)(M × M \ C) = N × N \ D offen, also
N hausdorffsch. Ist allgemein B eine Basis von X und f: X → Y eine stetige,
surjektive, offene Abbildung, so ist {f(B) | B ∈ B} eine Basis von Y . Also hat
N eine abzählbare Basis.
Die glatte Struktur auf N wird dadurch festgelegt, daß die u: p(U) → S Diffeomorphismen
sind. Daraus sieht man, daß p eine Submersion ist.
Beiweis von (B). Sei (x, y) ∈ C. Da pr 1 : C → M eine Submersion ist, gibt es
eine offene Umgebung U von x in M und eine glatte Abbildung σ: U → C mit
σ(x) = (x, y) und pr 1 ◦σ = id(U). Mit s = pr 2 ◦σ gilt (B).
✷
Beweis von (A). Wir unterteilen den Beweis in mehrere Schritte.
(i) Da C die Diagonale von M × M enthält, hat C eine Dimension m + n,
0 ≤ m ≤ n. (Bedeutung: Eine Äquivalenzklasse ist m-dimensional, und S wird
(n − m)-dimensional sein.) Sei x ∈ M fixiert. Da C eine Untermannigfaltigkeit
von M × M der Kodimension n − m ist, gibt es nach (4.7) eine offene Umgebung
U 0 von x in M und eine Abbildung f: U 0 × U 0 → R n−m von konstantem Rang
n − m derart, daß C ∩ (U 0 × U 0 ) = {(z, z ′ ) ∈ U 0 × U 0 | f(z, z ′ ) = 0} ist.
(Die Abbildung f interpretieren wir so: Für jedes z ∈ U 0 ist {z ′ | f(z, z ′ ) = 0}
die Äquivalenzklasse von z in U 0 . Wir suchen eine Untermannigfaltigkeit S, die
jede Klasse genau einmal transvers schneidet. Das stellen wir zunächst für die
Klasse von x sicher, und dann folgern wir das Gewünschte für alle genügend
benachbarten Klassen.)
(ii) Wir behaupten, daß f l : U 0 → R n−m , z ↦→ f(x, z) im Punkt x ein surjektives
Differential hat. Um das einzusehen, beachten wir, daß die Diagonale ∆ x von
T x U 0 × T x U 0 in T (x,x) C liegt, da C die Diagonale von M enthält. Da T (x,x) f
surjektiv ist und T (x,x) C, also auch ∆ x , im Kern von T (x,x) f liegt, wird eine
surjektive Abbildung
T x f l : T x U 0
∼ = (Tx U 0 × T x U 0 )/∆ x → R n−m , v ↦→ (0, v) ↦→ T (x,x) f(0, v)
geliefert. Ebenso hat auch f r : z ↦→ f(z, x) im Punkt x ein surjektives Differential.
(iii) Wir wählen nach (3.6.3) eine glatte Abbildung g: U 0 → R m mit g(x) = 0, so
daß
F = (f l , g): U 0 → R n−m × R m , z ↦→ (f(x, z), g(z))
U 0 (nach eventueller Verkleinerung) diffeomorph auf eine offene Menge abbildet.