Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

132 8 Weiteres T. tom Dieck
liefert die Beschreibung der Euler-Zahl als Indexsumme die Behauptung. Man
beachte dazu, daß q ′ über dem neuen D 2 durch
orientierungstreu trivialisiert wird.
pr: (S 1 (1) × D 2 (0)) × G C ∼ = D 2 (0) × C → D 2
Sei nun M eine beliebige G-Mannigfaltigkeit und t: D 2 (0) × S 1 (1) → M eine
Einbettung wir oben. Wir wollen Dehn-Chirurgie mittels
( ) a c
σ = : S 1 (µ) × S 1 (ν) → S 1 (0) × S 1 (1)
b d
durchführen. Äquivarianz und det(A) = 1 liefern für die Matrix die Gestalt
( ) ν c
A =
−µ d
mit νd + µc = 1.
(1.14) Satz. M ′ entstehe aus M durch Dehn-Chirurgie mittels der zuletzt genannten
Matrix. Dann gilt
e(M) = e(m) − d µ .
✷
Beweis. Nach Definition der rationalen Euler-Zahl müssen wir zunächst durch
Herausdividieren einer geeigneten Gruppe K zu einer freien Operation übergehen.
Die Ordnung von K muß ein Vielfaches von µ sein. Das führt zu dem
Anheftungsdiagramm
M \ U ◦ ✛ t S 1 (0) × S 1 (1) ✛ A S 1 (µ) × S 1 (ν)
❄
(M \ U ◦ )/K ✛ ˜t
p
q
❄
❄
S 1 (0) × S 1 (1) ✛ B S 1 (1) × S 1 (0).
Darin operiert G auf den Räumen der oberen Zeile und G/K auf denen der unteren
Zeile. Die Abbildungen p und q sind Orbitabbildungen für die K-Operation.
Sie werden in Matrizenform durch
p =
( 1 0
0 |K|
)
und q =
( |K|/µ −ν
0 µ
)
gegeben. Daraus berechnet man die Matrix
( 0 1
B =
−1 |K|d/µ
)
.