Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Struktur der Bahnen 69
(2.6) Notiz. Sei H eine abgeschlossene Liesche Untergruppe einer Lieschen
Gruppe G. Dann ist die H-Operation H × G → G, (h, g) ↦→ hg auf der Mannigfaltigkeit
G eigentlich. Insbesondere trägt der homogene Raum H\G eine glatte
Struktur, so daß die Restklassenabbildung G → H\G eine Submersion ist. Die
Rechtsoperation von G auf H\G durch Rechtstranslation ist glatt.
Beweis. Die Menge C ist in diesem Falle das Urbild von H bei der Submersion
t: G × G → G, (x, y) ↦→ x −1 y. Wir können also (2.1) anwenden. Die Glattheit der
G-Operation auf H\G folgt mit der universellen Eigenschaft (3.8) einer glatten
Quotientabbildung.
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(2.7) Linsenräume. Die zyklische Gruppe G = Z/m ⊂ S 1 operiere auf C n
durch
Z/m × C n → C n , (ζ, (z 1 , . . . , z n )) ↦→ (ζ r 1
z 1 , . . . , ζ rn z n ).
Seien r 1 , . . . , r n teilerfremd zu m. Die Einheitssphäre wird dann eine freie G-
Mannigfaltigkeit S(r 1 , . . . , r n ), und der Orbitraum L(r 1 , . . . , r n ) heißt Linsenraum.
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(2.8) Projektive Räume. Die kompakte Gruppe S 1 ⊂ C operiert durch skalare
Multiplikation auf der Einheitssphäre S 2n−1 ⊂ C n frei und eigentlich. Der
Orbitraum ist der komplexe projektive Raum CP n . Ebenso operiert G = {±1}
auf S n durch skalare Multiplikation und hat RP n als Orbitraum.
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(2.9) Graßmann-Mannigfaltigkeiten. Auf S p (R n ) operiert GL(p, R) frei
von links durch Matrizenmultiplikation. Zwei p-Tupel liegen genau dann in derselben
Bahn, wenn sie denselben Unterraum aufspannen. Demnach ist die Orbitmenge
GL(p, R)\S p (R n ) die Menge G p (R n ) der p-dimensionalen Unterräume
des R n . Ist die Operation auch eigentlich? Wir nehmen einen anderen Standpunkt
ein. Auf G p (R n ) werde eine rechte GL(n, R)-Operation so definiert, daß
die kanonische Abbildung
π: S(p, R n ) → G(p, R n ), (x 1 , . . . , x p ) ↦→ 〈 x 1 , . . . , x p 〉
eine GL(n, R)-Abbildung wird. Die Standgruppe D p von 〈 e 1 , . . . , e p 〉 besteht aus
den Matrizen der Form
( ) A 0
∈ GL(n, R), A ∈ GL(p, R)
∗ ∗
die wiederum eine abgeschlossene Untergruppe bilden. Damit können wir
die Graßmann-Mannigfaltigkeit G p (R n ) als die GL(n, R)-Mannigfaltigkeit
GL(n, R)/D p definieren.
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3 Struktur der Bahnen
Wir geben Bedingungen an, unter denen die Bahnen einer glatten Operation
Untermannigfaltigkeiten sind.