Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Weiteres zu Vektorraumbündeln 85
Geometrie wird H(k) oft durch O(k) bezeichnet. Aus der Konstruktion von H(k)
ist klar, daß H(k) eine komplexe Mannigfaltigkeit ist und die lokalen Trivialisierungen
holomorph sind. Deshalb ist H(k) ein holomorphes Vektorraumbündel
über CP n . Die homogenen Polynome vom Grad k liefern holomorphe Schnitte
von H(k). Es ist bemerkenswert, daß es keine anderen holomorphen Schnitte
gibt. Um das zu beweisen, benutzt man, daß sich eine holomorphe Abbildung
h: C n+1 \ 0 → C für n ≥ 1 holomorph auf C n+1 fortsetzen läßt (siehe etwa
Grauert–Fritsche [1976], p. 33). Die Betrachtung der Taylor-Reihe im Nullpunkt
liefert dann zusammen mit der Bedingung h(λx) = λ k h(x), daß h ein
homogenes Polynom vom Grad k ist.
Die (Varietät) Mannigfaltigkeit
H(−k) = (C n \ 0) × C ∗ C(k), k > 0
läßt sich als komplexe Untermannigfaltigkeit von C n × P(C n ) schreiben. Die Abbildung
(C n \ 0) × C(k) → C n × P (C n ), (x 1 , . . . , x n ), z ↦→ (x k 1z, . . . , x k nz), [x 1 , . . . , x n ]
läßt sich über den Orbitraum H(−k) faktorisieren. Die resultierende Abbildung
sei ι: H(−k) → C n × P (C n ).
(3.13) Satz. ι ist eine holomorphe Einbettung auf die Untermannigfaltigkeit,
die durch
{(y 1 , . . . , y n ), [x 1 , . . . , x n ] | x k i y j = x k j y i } = ˜H(−k)
definiert wird.
Beweis. Bild ι liegt sicherlich in dieser Teilmenge. Die Bedingungen x k i y j = x k j y i
besagen nach dem Determinanten-Kriterium für den Rang einer Matrix, daß
(x k 1, . . . , x k n) und (y 1 , . . . , y n ) linear abhängig sind. Es gibt also ein z ∈ C mit
y j = zx k j , das heißt ι hat die angegebene Menge als Bild.
Ist ι((x i ), z) = ι((u i ), t), so gibt es λ ∈ C ∗ mit x i = λu i . Aus x k i z = u k i t =
λ k u k i z folgt für u ≠ 0 auch t ≠ 0 und t = λ k z. Also ergibt sich, daß ι injektiv ist.
Die angegebene Menge ist eine Untermannigfaltigkeit. Auf der Karte x j = 1
folgt aus x k i y j = y i , daß sich die y i durch die y j und x i ausrechnen lassen (i ≠ j).
Es handelt sich also um den Graphen einer Abbildung.
Man kann auch ˜H(−k) in natürlicher Weise zu einem Geradenbündel über
P(C n ) machen und zeigen, daß ι ein Bündelisomorphismus wird. (Kanonische
Einbettung in das triviale Bündel.)
✷
Wenn man das projektive Bündel (C n \ 0) × C ∗ P 1 (k), definiert durch die Äquivalenzrelation
betrachtet, so kann man es durch
(x 1 , . . . , x n ), [u, v] ∼ (λx 1 , . . . , λx n ), [λ −k u, v]
ι: (x 1 , . . . , x n ), [u, v] ↦→ [x k 1u, . . . , x k 1u, v], [x 1 , . . . , x n ]