Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Algebraische Topologie von Seifert-Faserungen 139
Es ist bekannt, daß Ĩ die binäre Ikosaedergruppe der Ordnung 120 ist (siehe
??). Diese Gruppe ist eine Untergruppe von SU(2). Es ist SU(2) diffeomorph zu
S 3 ; gruppentheoretisch sind das die Quaternionen der Norm 1. Der Faktorraum
S 3 /Ĩ ist die berühmte Poincaré-Sphäre. Um diese mit B(2, 3, 5) zu identifizieren,
betrachtet man die S 1 -Operation, die durch den maximalen Torus von SU(2)
induziert wird. Man erhält dann drei Ausnahmefasern mit denselben lokalen
Invarianten wie bei B(2, 3, 5). Da die Gruppe perfekt ist, so ist auch SU(2)/Ĩ
eine Homologiesphäre, das heißt, die Seifert-Faserung hat auch die Euler-Zahl
−1/(2 · 3 · 5).
✸