Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Bestimmung von Tangentialbündeln 89
beschrieben (Aufgabe 2). Die orthogonale Gruppe O(n) hat als T E O(n) = LO(n)
den Unterraum aller schiefsymmetrischen (n, n)-Matrizen. Um das Tangentialbündel
der Graßmannschen Mannigfaltigkeit
G k (R n+k ) ∼ = O(n + k)/O(k) × O(n)
mittels (6.6) zu bestimmen, müssen wir LO(n + k)/LO(k) × LO(n) als O(k) ×
O(n)-Darstellung beschreiben. Der Unterraum aller Matrizen der Form
( ) O A
−A t , A ∈ M(n, k)
O
wird isomorph auf LO(n + k)/LO(k) × LO(n) abgebildet. Die Operation von
(C, D) ∈ O(k) × O(n) auf einer Matrix dieser Form wird durch Ersetzen
von A durch CAD −1 gegeben. Begrifflich läßt sich diese Darstellung durch
den Vektorraum Hom(R n , R k ) beschreiben, auf dem Aut(R n ) × Aut(R k ) durch
((f, g), h) ↦→ fhg −1 operiert.
Indem man jedem Unterraum sein orthogonales Komplement zuordnet, erhält
man einen Diffeomorphismus G k (R n+k ) ∼ = G n (R k+n ). Deshalb kann man die
tautologischen Bündel γ k und γ n beide als Bündel über G k (R k+n ) ansehen.
In der Version O(n + k)/O(k) × O(n) sind diese Bündel assoziiert zu den
O(k)- bzw. O(n)-Prinzipalbündeln, die der Projektion der zugehörigen Stiefel-
Mannigfaltigkeiten assoziiert sind (siehe Abschnitt 1). Indem wir die voranstehende
Diskussion des Tangentialbündels übersetzen, erhalten wir die folgende
Aussage.
(4.8) Satz. Seien γ k und γ n die tautologischen Bündel über G k (R n+k ). Dann ist
das Tangentialbündel T G k (R n+k ) kanonisch isomorph zum Bündel Hom(γ n , γ k ).
Der Isomorphismus ist mit der Operation von O(n+k) (und sogar GL(n+k, R))
verträglich. Analoges gilt für komplexe Graßmannsche Mannigfaltigkeiten. ✷
Wir verbinden die Ergebnisse (6.3) und (6.8). Das Bündel γ n ⊕ γ 1 ist trivial,
also gilt γ ∗ n ⊕ γ ∗ 1 ∼ = (n + 1)ε. Wir bilden das Tensorprodukt mit γ 1 und erhalten
wegen γ ∗ 1 ⊗γ 1
∼ = ε und Hom(ξ, η) ∼ = ξ ∗ ⊗η einen Isomorphismus Hom(γ n , γ 1 )⊕ε ∼ =
(n + 1)γ 1 .
Der Totalraum eines glatten Vektorraumbündels ξ: E → M ist eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit. Wie sieht T E aus? Über E gibt es zwei kanonische
Bündel:
(1) ξ ∗ T M, das induzierte Tangentialbündel.
(2) ξ ∗ E, das von sich selbst induzierte Bündel.
(4.9) Satz. Das Tangentialbündel T E ist isomorph zu ξ ∗ T M ⊕ ξ ∗ E.
Beweis. Da ξ: E → M eine Homotopieäquivalenz ist, mit dem Nullschnitt
s: M → E als Inversem, genügt es nach dem Homotopiesatz für Bündel zu
zeigen, daß T E|M zu T M ⊕ E isomorph ist. Dieser Isomorphismus ist sogar
kanonisch. Da ξs = id ist, so ist T s: T M → T E|M ein Bündelmonomorphismus.