Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Graßmannsche Mannigfaltigkeiten 9
RP n auch als Quotientraum von S n erhalten, bezüglich der Äquivalenzrelation,
die antipodische Punkte identifiziert x ∼ −x. Ebenso erhalten wir CP n als
kompakten Quotientraum von S 2n+1 ⊂ C n+1 bezüglich der Äquivalenzrelation
z ∼ λz, λ ∈ S 1 .
(2.1) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Einen anderen glatten Atlas für S n erhält man, wenn man die Kartenbereiche
U i (±) = {(x 0 , . . . , x n ) | ±x i > 0} verwendet und die Koordinatensysteme
ϕ i (±): U i (±) → U 1 (0), (x 0 , . . . , x n ) ↦→ (x 0 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x n ).
Es ist lästig zu beweisen, daß beide Atlanten dieselbe differenzierbare Mannigfaltigkeit
definieren. Später werden wir S n besser als Untermannigfaltigkeit des R n+1 definieren,
wie es ihre Definition nahelegt.
2. Zur Definition einer Karte muß man nicht unbedingt die euklidischen Räume verwenden.
Um kanonische Karten zu erhalten, sind oft andere (normierte) Vektorräume
nützlich. Wir behandeln noch einmal die stereographische Projektion. Sei V ein reeller
Vektorraum mit Skalarprodukt 〈 −, − 〉, zugehöriger Norm ‖v‖ = 〈 v, v 〉 1/2 und Einheitssphäre
S(V ) = {v ∈ V | ‖v‖ = 1}. Ist p ∈ S(V ), so sind die stereographische
Projektion ϕ p : S(V ) \ {p} → 〈 p 〉 ⊥ mit dem Pol p auf die zu p orthogonale Hyperebene
〈 p 〉 ⊥ und ihre Umkehrung π p durch
ϕ p (x) =
x − 〈 x, p 〉p
1 − 〈 x, p 〉 , π p(u) = 2u + (‖u‖2 − 1)p
1 + ‖u‖ 2
erklärt.
3 Graßmannsche Mannigfaltigkeiten
Wir verallgemeinern nun die projektiven Räume. Sei dazu E ein n-dimensionaler
reeller Vektorraum und 0 < r < n. Wir machen die Menge G r (E) der r-
dimensionalen Unterräume von E zu einer glatten Mannigfaltigkeit der Dimension
r(n − r) und nennen sie dann eine Graßmann-Mannigfaltigkeit. Zu diesem
Zweck konstruieren wir Karten für diese Menge.
Sei K ein Unterraum der Kodimension r in E. Wir betrachten die Menge der
Komplemente von K
Dieses werden die Kartenbereiche. Sei
U(K) = {F ∈ G r (E) | F ⊕ K = E.}
P (K) = {p ∈ Hom(E, E) | p 2 = p, p(E) = K}
die Menge der Projektionen mit Bild K. Dann ist P (K) → U(K), p ↦→ Kern(p)
eine Bijektion. Die Menge P (K) ist ein affiner Raum über dem Vektorraum
Hom(E/K, K). Sei j: K ⊂ E und q: E → E/K) die Quotientabbildung. Dann
ist
Hom(E/K, K) × P (K) → P (K), (ϕ, p) ↦→ p + jϕq