Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 3 Normalenbündel 39
(3.3) Satz. Sei f: X → Y ein lokaler Homöomorphismus. Sei A ⊂ X und sei
f: A → f(A) = B ein Homöomorphismus. Jede Umgebung von B in Y enthalte
eine parakompakte Umgebung. Dann gibt es eine offene Umgebung U von A in
X, die durch f homöomorph auf eine offene Umgebung V von B in Y abgebildet
wird.
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Beweis. Sei x ∈ X und y = s(x). Wir wählen offene Umgebungen U x von y in
U und V x von x in N, so daß f einen Homöomorphismus U x → V x vermittelt.
Die Umkehrung ist ein Schnitt s x von f über V x . Wegen s(x) = s x (x) stimmen
beide Schnitte auf einer Umgebung von x in X überein.
Nach dieser Vorbemerkung wählen wir eine Familie (V j | j ∈ J) offener
Mengen V j ∈ N, die X überdecken, mit Schnittens j : V j → U von f, so daß
s j |V j ∩ X = s|V j ∩ X. Durch eventuelle Verkleinerung von V j können wir erreichen,
daß die Familie (V j | j ∈ J) lokal endlich ist, indem wir zum Beispiel
eine untergeordnete Partition der Eins (τ j ) wählen und die V j durch τ −1
j ]0, 1]
ersetzen.
Sei V = ∪ j∈J V j . Es gibt eine offene Überdeckung (W j | j ∈ J) von V mit
W j ⊂ V j für alle j ∈ J. Zum Beispiel sind die W j die Träger einer Partition der
Eins, die (V j ) untergeordnet ist. Sei
W = {x ∈ W | x ∈ W i ∩ W j ⇒ s i (x) = s j (x)}.
Dann ist X ⊂ W . Wir definieren einen stetigen Schnitt s auf W dadurch, daß
wir s auf W j gleich s j setzen; nach Konstruktion ist dadurch s wohldefiniert,
und die Stetigkeit folgt wegen der lokalen Endlichkeit.
Wir zeigen: W ist eine Umgebung von X, und s(W ◦ ) ist offen. Wir wählen
dazu eine offene Umgebung Q von s(x), x ∈ X, die bei f auf eine offene Umgebung
f(Q) ⊂ V von x homöomorph abgebildet wird. Sodann wählen wir eine
offene Umgebung A von x in V mit den folgenden Eigenschaften:
(1) A ⊂ f(Q).
(2) A trift nur endlich viele W j , etwa W j(1) , . . . , W j(k) .
(3) x ∈ W j(1) ∩ . . . ∩ W j(k) .
(4) A ⊂ V j(1) ∩ . . . ∩ V j(k) .
(5) s j(t) (A) ⊂ Q, 1 ≤ t ≤ k.
Eine derartige Wahl ist möglich: Wegen der lokalen Endlichkeit von (W j ) ist
{j ∈ J | x ∈ W j } endlich; sei {j(1), . . . , j(k)} diese Menge. Sei ebenso x in
V j(1) , . . . , V j(k) , V j(k+1) , . . . , V l enthalten. Dann ist
A = f(Q) ∩ V j(1) ∩ . . . ∩ V j(k) ∩ (V \ W j(k+1) ∩ . . . ∩ (V \ W j(l)
eine offene Umgebung von x in V mit den Eigenschaften (1) – (4). Wegen der
Stetigkeit von s i ist s −1
i (Q) eine offene Umgebung von x. Also läßt sich durch
Verkleinerung von A auch A ⊂ s −1
j(t)
(Q) erreichen.
Sei y ∈ A. Für 1 ≤ a, b ≤ k gilt dann s j(a) (y) = s j(b) (y), denn wegen (5) haben
beide Seiten bei f dasselbe Bild, und f ist injektiv. Also liegt A in W . Siehe
Aufgabe 1 zur Abrundung.
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