Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Approximation 41
Beweis von (4.2). Wir betrachten die Situation zunächst lokal. Sei x ∈ M fixiert.
Wir wählen ein γ(x) > 0 und eine Umgebung W x von x, so daß für y ∈ W x immer
δ(x) ≥ 2γ(x) ist. Sei
V x = r −1 (U γ(x)/2 (f(x)) ∩ N).
Der Abstand η(x) = d(f(x), R p \ V x ) ist größer als Null. Wir verkleinern W x zur
Umgebung Z x , so daß für y ∈ Z x immer ‖f(x) − f(y)‖ < 1 η(x) ist.
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Die Funktion f|Z x erfüllt dann das Lemma mit der konstanten Funktion ε =
ε x : y ↦→ 1η(x). Sei nämlich y ∈ Z 4 x und ‖z − f(y)‖ < 1η(x), das heißt z ∈ U 4 y.
Dann gilt nach der Dreiecksungleichung ‖z − f(x)‖ < 1 η(x), also nach unserer
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Wahl von η(x),
z ∈ V x ⊂ U, r(z) ∈ U γ(x)/2 (f(x)).
Sind z 1 , z 2 ∈ U y , so liefert die Dreiecksungleichung
‖r(z 1 ) − r(z 2 )‖ < γ(x) ≤ 1 2 δ(x).
Also ist der Durchmesser von r(U y ) kleiner als δ(y).
Nach dieser lokalen Betrachtung wählen wir eine Partition der Eins (τ x | x ∈
M), die (Z x | x ∈ M) untergeordnet ist. Damit definieren wir ε: M → ]0, ∞[
durch ε(x) = ∑ 1
a∈M
τ 4 a(x)η(a). Diese Funktion hat die gewünschten Eigenschaften.
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(4.3) Satz. Sei f: M → N stetig. Zu gegebener stetiger Abbildung δ: M →
]0, ∞[ gibt es eine stetige Abbildung ε: M → ]0, ∞[ mit der Eigenschaft: Jede
stetige Abbildung g: M → N mit ‖g(x) − f(x)‖ < ε(x) und f|A = g|A ist
homotop zu f mittels einer Homotopie F : M × [0, 1] → N, so daß F (a, t) = f(a)
für (a, t) ∈ A × [0, 1] und ‖F (x, t) − f(x)‖ < δ(x) für (x, t) ∈ M × [0, 1].
Beweis. Wir wählen r: U → N und ε: M → ]0, ∞[ wie in (4.1) und (4.2). Für
jedes (x, t) ∈ M × [0, 1] ist dann
H(x, t) = t · g(x) + (1 − t) · f(x) ∈ U ε(x) (f(x)).
Durch F (x, t) = rH(x, t) wird eine Homotopie mit den gewünschten Eigenschaften
gegeben.
✷
(4.4) Satz. (1) Sei f: M → N stetig und f|A glatt. Dann ist f homotop relativ
A zu einer glatten Abbildung. Ist f eigentlich und N in R p abgeschlossen, so ist
f eigentlich homotop relativ A zu einer glatten Abbildung.
(2) Seien f 0 , f 1 : M → N glatte Abbildungen. Sei f t : M → N eine Homotopie, die
auf B = M × [0, ε[ ∪M× ]1 − ε, 1] ∪ A × [0, 1] glatt ist. Dann gibt es eine glatte
Homotopie g t von f 0 nach f 1 , die auf A × [0, 1] mit f übereinstimmt. Ist f t eine
eigentliche Homotopie und ist N in R p abgeschlossen, so kann g t als eigentliche
Homotopie gewählt werden.
Beweis. (1) Wir wählen δ und ε nach (4.3) und wenden darauf (4.1) an. Dann
liefert (4.3) eine geeignete Homotopie. Ist f eigentlich, δ beschränkt und gilt